صحة (المنطق)

صحة المناقشات

وعلى صعيد آخر، بصرف النظر عن كيفية تركيب الكون، فلا يوجد أي حالة يمكن معها أن يكون لهذه المناقشات مقدمات منطقية صحيحة في نفس الوقت ولكن مع نتيجة غير صحيحة. يمكن مقارنة المناقشات الواردة أعلاه مع المناقشة التالية غير الصحيحة:

• جميع الرجال مصيرهم الفناء.
• سقراط مصيره الفناء.
• ومن ثم، فإن سقراط رجل.

• كل «أ» هو «ب».
• «ج» هو «أ».
• ومن ثم، فإن «ج» هو «ب».
• وبالمثل، فإن المناقشة الثالثة تصبح:
• كل «أ» هو «ب».
• «ج» هو «ب».
• ومن ثم، فإن «ج» هو «أ».

ومن ناحية أخرى، تكون أي مناقشة صحيحة شكليًا إذا كانت صيغتها تجعل النتيجة كذلك صحيحة لكل تفسير تكون معه جميع المقدمات المنطقية صحيحة.

يقال عن المناقشة غير الصالحة إنها «غير صحيحة».

علاوةً على ذلك، وكما رأينا بالفعل، فإن التفسير المذكور أعلاه (للمناقشة الثالثة) يتسبب في وجود مقدمات منطقية صحيحة ونتيجة غير صحيحة لصيغة المناقشة الثانية (إذا لم يكن «أ» كائنًا بشريًا)، مما يبرهن على عدم صحتها.

في هذا الإطار، تكون أي مناقشة صحيحة فقط إذا كانت صحة مقدماتها المنطقية تتضمن صحة نتيجتها وكانت كل خطوة أو مناقشة فرعية أو عملية منطقية في المناقشة صحيحة. وفي مثل هذه الظروف سيكون من المناقض للذات أن نؤكد على المقدمات المنطقية ونرفض النتيجة. إن الشرط المناظر لأي مناقشة صحيحة هو حقيقة منطقية ويعتبر نفي شرطها المناظر تناقض. تعتبر النتيجة نتيجة منطقية لمقدماتها المنطقية.

• جميع الأكواب خضراء اللون.
• سقراط كوب.
• ومن ثم، فإن سقراط أخضر اللون.

وعلى صعيد آخر، يقدم القياس المنطقي التالي الشهير (المعروف كذلك باسم القياس الاستثنائي) مثالاً على مناقشة صحيحة:

من جهة ثانية، والرأي القياسي هو أنه سواءً كانت المناقشة صحيحة أم لا هو أمر يخص الصيغة المنطقية للمناقشة. يتم توظيف الكثير من الأساليب بواسطة علماء المنطق لتمثيل الصيغة المنطقية لأي مناقشة. ومن الأمثلة البسيطة التي تنطبق على اثنين من التوضيحات المذكورة أعلاه ما يلي: لنفترض أن الأحرف «أ» و«ب» و«ج» ترمز على التوالي إلى مجموعة الرجال ومجموعة الفانين وسقراط. باستخدام هذه الرموز، يمكن اختصار المناقشة الأولى كما يلي:

وفي السياق ذاته، في هذه الحالة، فإن النتيجة لا تتبع المقدمات المنطقية بشكل حتمي. فجميع الرجال مصيرهم الفناء ولكن ليس كل من يفنون من الرجال. فكل كائن حي مصيره الفناء، ومن ثم فرغم أن كلتا المقدمتين المنطقيتين صحيح ويبدو أن النتيجة صحيحة في هذا المثال، إلا أن المناقشة غير صحيحة لأنها تعتمد على عملية تضمين غير صحيحة. وتتميز هذه المناقشات الوهمية بقدر كبير مشترك مع ما يعرف باسم هاولرز في الرياضيات.

في هذا الإطار، إن ما يجعل من هذه مناقشة صحيحة ليس أن لها مقدمات منطقية صحيحة ونتيجة صحيحة، بل هي الضرورة المنطقية للنتيجة، في ضوء المقدمتين المنطقيتين. وتكون المناقشة بنفس الصحة حتى إذا كانت المقدمات المنطقية والنتيجة غير صحيحة. تتميز المناقشة التالية بنفس الصيغة المنطقية ولكن مع مقدمات منطقية غير صحيحة ونتيجة صحيحة، وهي صحيحة بشكل مساوٍ:

• جميع الرجال مصيرهم الفناء.
• سقراط رجل.
• ومن ثم، فإن سقراط مصيره الفناء.

صيغة صحيحة

ومن ناحية أخرى، تكون صيغة أي لغة رسمية صيغة صحيحة فقط إذا كانت صحيحة تحت كل تفسير ممكن للغة. في المنطق الافتراضي، فإنها تكون تكرارات غير مفيدة.

صحة العبارات

ومن جهة أخرى، يمكن أن نطلق على عبارة ما أنها صحيحة، ونعني بهذا الصحة المنطقية إذا كانت صحيحة في جميع التفسيرات.

الوقاية

في هذا الإطار، في عنصر الصحة من ناحية الحفاظ على الصحة، فإن التفسير الذي يتم فيه تخصيص قيمة صحة «صحيح» لجميع المتغيرات ينتج قيمة صحة هي «صحيح».

وفي السياق ذاته، أما في عنصر الصحة من ناحية الحفاظ على الخطأ، فإن التفسير الذي يتم فيه تخصيص قيمة صحة «خاطئ» لجميع المتغيرات ينتج قيمة صحة هي «خاطئ».

الصحة والصواب

من جهة ثانية، المشكلة في هذه المناقشة هي أنها ليست صائبة. ولكي تكون أي مناقشة استنتاجية صائبة، يجب أن يكون الاستنتاج صحيحًا وأن تكون جميع المقدمات المنطقية صحيحة.

وعلى صعيد آخر، لا تتأثر صحة الاستنتاج بصحة المقدمة المنطقية أو صحة النتيجة. فالاستنتاج التالي صحيح تمامًا:

• جميع الحيوانات تعيش على المريخ.
• جميع البشر من الحيوانات.
• ومن ثم، فإن جميع البشر تعيش على المريخ.

صحة ω

وفي هذا السياق، تكون صيغة أي لغة من المرتبة الأولى ω-valid iff كانت صحيحة لكل تفسير للغة وكان لها مجال مع عدد غير محدود من الأرقام.

• انظر كذلك
• التضمين
• أسس صحة المنطق العلمي
• الإثباتات الخاطئة
• الصواب

صحة n

في هذا الإطار، تكون الصيغة أ في لغة من المرتبة الأولى n-valid iff كانت صحيحة لكل تفسير لـ له مجال يبلغ n رقمًا بالضبط.

إمكانية التطبيق والصحة

في هذا الإطار، نظرية النموذج تعمل على تحليل الصيغ من ناحية فئات معينة من التفسير بتركيبات رياضية مناسبة. وفي هذه القراءة، تكون الصيغة صحيحة إذا كانت كل هذه التفسيرات تجعلها صحيحة. يكون أي استدلال صحيحًا إذا كانت جميع التفسيرات التي تبين صحة المقدمات المنطقية توضح كذلك صحة النتيجة. ويعرف هذا باسم الصحة الدلالية.