ضغط التحميل

الترميز

وعلى صعيد آخر، : القطر الاسمي لكل من الأسطوانة الذكرية والأسطوانة الأنثوية.

: طول التوجيه.

العلاقة بين الضغط والخلوص وزاوية التلامس

وفي هذا الصدد، عند تطبيق الحمل، تتلامس الأسطوانة رقم 2 مع الأسطوانة رقم 1، وتتعرض الأسطح للتشوه. وللتبسيط، يُفترض أن الأسطوانة رقم 2 صلبة ولا تتشوه، بينما تكون الأسطوانة رقم 1 جسمًا مرنًا.

كذلك، تكون الوضعية المرجعية هي الحالة المثالية التي تكون فيها الأسطوانتان متحدتي المركز. ويُعرّف الخلوص، مع التعبير عنه على هيئة نصف قطر وليس قطرًا، بالعلاقة:

كذلك، ويكون عمق انغراز الأسطوانة الثانية في الأولى مساويًا لـ، بينما تكون إزاحة مركز الأسطوانة مساوية لـ:

• مع:
• وتكون إحداثيات النقطة :
• بينما تكون إحداثيات مركز الأسطوانة الثانية:
• وباستخدام مرجع آخر مركزه ومحوره في اتجاه ، تصبح الإحداثيات:
• و:
• ومن العلاقة المتجهية:
• نحصل على النظام:
• وباستخدام:
• و:
• نحصل على:
• وبما أن التشوهات صغيرة في المجال المرن، فإن:
• ومن ثم تكون صغيرة، وبالتالي:
• و:
• وبذلك يصبح:
• عند زاوية نهاية التلامس تكون الإزاحة مساوية للصفر، ومن ثم:
• أي:
• وبالتالي:
• ومنها تكون الإزاحة عند زاوية :
• بالنسبة إلى معدن ذي سلوك مرن، حيث ، نحصل على:
• ويكون الضغط دالة خطية في :
• حيث:
• و:

علاوةً على ذلك، يمثل الجزء رقم 1 الأسطوانة الحاوية (الأنثوية المقعرة)، بينما يمثل الجزء رقم 2 الأسطوانة الموجودة داخلها (الذكرية المحدبة). ويرمز إلى مركز الأسطوانة بالرمز ، وإلى نصف قطرها بالرمز .

من جهة ثانية، ويُؤخذ المرجع عند مركز الأسطوانة الأولى . وإذا كانت نقطة على سطح التلامس، وكانت الزاوية بين الاتجاه المرجعي والقطعة ، فإن إزاحة السطح تكون:

حالة الضغط المنتظم

• يمكن حساب الضغط بالاعتماد على المساحة المسقطة لسطح التلامس، وفق العلاقة:
• حيث:
• هو ضغط التحميل.
• هو الحمل الشعاعي.
• هو نصف قطر الكرة.

وفي السياق ذاته، عند اعتبار الأجزاء أجسامًا صلبة وإهمال الخلوص بينها، يمكن افتراض أن ضغط التحميل موزع بصورة منتظمة على سطح التلامس.

حالة تلامس أسطوانة–أسطوانة

• عندما يكون الخلوص مهملًا، ويمكن اعتبار الأجزاء:
• أجسامًا صلبة.
• أجسامًا مرنة.
• عندما لا يمكن إهمال الخلوص، مع اعتبار الأجزاء أجسامًا مرنة.
• ويقصد بالخلوص المهمل عادةً توافق من النوع H7/g6.

وفي هذا الصدد، تكون محاور الأسطوانات موازية للمحور ، وتؤثر على الأسطوانة الذكرية قوتان خارجيتان: قوة موازية للمحور وتمثل الحمل، وتأثير الأسطوانة الأنثوية الذي يتمثل في ضغط التلامس.

من جانب آخر، وينصب الاهتمام الرئيسي على ضغط التلامس مع الثقب، والذي يكون موزعًا بصورة منتظمة على امتداد المحور .

وفي هذا الصدد، في حالة مفصل دوراني أو مفصل مفصلي، يحدث التلامس بين أسطوانة ذكرية وأسطوانة أنثوية. وتختلف طبيعة المسألة باختلاف مقدار الخلوص وخواص الأجزاء، ويمكن تمييز ثلاث حالات رئيسية:

الخلوص المهمل والأجسام الصلبة

إضافةً إلى ذلك، في هذا النموذج، يُفترض أن ضغط التلامس موزع بصورة منتظمة. ويُعطى ضغط التحميل بالعلاقة:

البرهان

• وبتكامل هذه القوة على نصف الأسطوانة:
• ومن ثم:
• وهذه النتيجة مماثلة للحالة الخاصة بأسطوانة تحتوي مائعًا تحت الضغط.

وفي هذا السياق، أما الطريقة الثانية فتقوم على تكامل قوى الضغط الأولية. حيث يؤخذ عنصر صغير من السطح الأسطواني، موازٍ لأحد المولدات، وطوله ، ومحصولًا بين الزاويتين و.

وبالتالي:

ومن جهة أخرى، في الطريقة الأولى، يمكن اعتبار نصف أسطوانة في مائع ذي ضغط هيدروستاتيكي منتظم. يتحقق الاتزان عندما تتساوى القوة المحصلة على السطح المستوي مع القوة المحصلة على السطح المنحني. وبما أن السطح المستوي مستطيل أبعاده ، فإن:

في هذا الإطار، وبسبب تماثل النظام بالنسبة إلى مستوى ، تلغي المركبات الأفقية بعضها بعضًا، بينما تكون مركبة القوة في اتجاه :

وتكون قوة الضغط المؤثرة عليه:

يمكن اعتبار هذا العنصر مستطيلًا صغيرًا أبعاده:

يمكن الوصول إلى هذه النتيجة بطريقتين.

حالة التوزيع الجيبي للضغط

• ويُعطى الضغط على سطح الكرة بالعلاقة:
• حيث تمثل زاوية الموضع، بينما تمثل الزاوية حول محور التماثل.
• ويُعطى الضغط الأعظم بالعلاقة:

وعلى صعيد آخر، كما في حالة تلامس أسطوانة–أسطوانة، إذا اعتُبرت الأجزاء أجسامًا مرنة وكان الخلوص مهملًا، فإن ضغط التلامس لا يكون منتظمًا، وإنما يتبع توزيعًا جيبيًا.

إضافةً إلى ذلك، وبالتالي فإن الضغط الأعظم في حالة التوزيع الجيبي يساوي من قيمة الضغط المنتظم للحمل نفسه.

الخلوص والأجسام المرنة

كذلك، عندما لا يمكن إهمال الخلوص، لا يمتد التلامس بين الجزء الذكري والجزء الأنثوي على كامل نصف سطح الأسطوانة، بل يقتصر على زاوية مقدارها .

في هذا الإطار، ولا يمكن اشتقاق معامل الصلابة ونصف زاوية التلامس من النظرية وحدها، وإنما يجب تحديدهما تجريبيًا. وبالنسبة إلى نظام محدد ذي أقطار ومواد معلومة، وبالتالي قيم محددة لكل من والخلوص ، يمكن الحصول على منحنى يربط بين و.

• ويتبع ضغط التلامس قانون المرونة:
• حيث:
• عدد حقيقي موجب يمثل صلابة المواد.
• الإزاحة الشعاعية لنقطة التلامس عند الزاوية .
• معامل يمثل سلوك المادة:
• للمعادن عند افتراض السلوك المرن.
• لبعض المواد البوليمرية ذات السلوك اللزج المرن أو اللدن اللزج.
• ويتغير الضغط وفق علاقة خطية في :
• حيث إن و عددان حقيقيان موجبان.
• ويُعطى الضغط الأعظم بالعلاقة:
• حيث تُقاس الزاوية بوحدة راديان.

الفرضيات

في هذا الإطار، علاوةً على ذلك، يقتصر ضغط التحميل على الحالات التي يمكن فيها وصف الحمل بأنه قوة شعاعية تتجه نحو مركز المفصل.

وفي هذا السياق، تُدرس حالة تلامس بين جزء ذكري محدب وجزء أنثوي مقعر عندما تكون أنصاف أقطار التقوس متقاربة من بعضها. ولا يوجد إحكام بين الجزأين، كما ينزلق المفصل دون احتكاك؛ ولذلك تكون قوى التلامس عمودية على المماس لسطح التلامس.

الخلوص المهمل والأجسام المرنة

• حيث تكون قيمة الضغط الأعظم:
• وبذلك يكون الضغط الأعظم مساويًا لنحو:
• مرة من الضغط الناتج عن افتراض التوزيع المنتظم.
• وتُعد هذه الحالة حالة خاصة من النموذج العام التالي عندما:

علاوةً على ذلك، عند اعتبار الأجزاء قابلة للتشوه المرن، لا يعود ضغط التلامس موزعًا بصورة منتظمة، وإنما يتخذ توزيعًا جيبيًا. ويُعطى الضغط عند زاوية بالعلاقة:

الحالة التي يمكن فيها إهمال الخلوص

من جانب آخر، وبالنظر إلى عنصر سطحي متناهي الصغر محصور بين و، تكون مركبة القوة في اتجاه الحمل:

• إذا كان:
• أي:
• فإن التلامس يمتد على وجه التقريب على كامل نصف المحيط، ولذلك:
• و:

وبالتعويض عن :

في هذا الإطار، وفي هذه الحالة لا يمكن استخدام النسبة بصورة مباشرة عند اقتراب كل من و من الصفر، ولذلك يُبحث عن الدالة الحدية:

• ويصبح توزيع الضغط جيبيًا:
• أي:
• حيث:

حالة تلامس كرة–كرة

وفي هذا السياق، يُمثّل تلامس كرة–كرة إحدى حالات المفصل الكروي، حيث تتلامس كرة محدبة مع تجويف كروي مقعر، كما يمكن استخدام هذا النموذج لوصف حالة المحمل الكروي.