ظل زائدي

الدالة في الكسور المستمرة

وفي هذا السياق، في 1761، برهن وأثبت يوهان هاينغيش لامبرت أن أحد الحلول في الكسور المستمرة المعممة للدالة tanh هي:

وفي هذا الصدد، كما أكد على أن النظرية العامة تُمَكِّنُ من استنتاج الدالة الأسية لأي عدد كسري (باستثناء الصفر).

التطبيقات

وفي هذا الصدد، دالة الظل الزائدي هي دالة تمر قيمها تدريجيا ما بين -1 و1، وبالتالي فإنه يمكن استخدامها لتمثيل ظاهرة الانتقال التدريجي أو شيء من هذا القبيل.

ومن ناحية أخرى، بعض الظواهر (الفيزيائية والاقتصادية ...) لا يمكن وصفها من خلال دراسة دالة واحدة على مجال كامل، هذا هو الحال عادة عند دراسة حرارة مادة معينة تمر بالعديد من التغييرات في فترة زمنية محددة، مما يضطر الدارس إلى تحديد مجالين للتعريف (أو أكثر)، مع شرط أن تكون الدالتين مختلفتين في كل مجال، والملاحظ أنه يمكن للدالتين (أو للدوال) أن تكونا من نفس النوع ولكن بقيم مختلفة، وبالتالي نحصل على دالة من نوع:

القيمة xt هي قيمة ثابتة.

الدالة العكسية

إضافةً إلى ذلك، الدالة العكسية لدالة tanh في المجال ℝ يُرمز لها بـ artanh (أو argtanh أو argth)، ويُمكن تفسيرها بالعلاقة التالية:

ومن جهة أخرى، بشكل أكثر دقة، لكل z من مجال تعريف الدالة tanh، العدد المركب tanh(z) هو صورة u = e من خلال الدالة u ↦ v = (u – 1)/(u + 1). ومع ذلك، فإن هذه الدالة هي مقابلة لـ ℂ\{-1} في ℂ\{1} ومنه فإن v ↦ u = (1 + ت)/(1 – v) إذن ℂ\ℝ على ℂ\(]–∞, –1]∪[1, +∞[).

حيث Log يعني العامل المحدد الرئيسي في اللوغاريتم العُقدي.

إضافةً إلى ذلك، بصفة عامة، دالة tanh لها دالة عكسية معرفة على ℝ+i]–π/2, π/2[ في ℂ\(]–∞, –1]∪[1, +∞[)، بحيث:

حيث ln ترمز للوغاريتم الطبيعي.

الخصائص العامة

علاوةً على ذلك، على مجال تعريف الدالة تكون tanh دالة تامة الشكل (هذا يعني أنها متصلة وقابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية)، في حين تكون مشتقتها الأولى تساوي:

تعريف

خصائص

في هذا الإطار، يُمكن التعبير عن دالة الظل الزائدي باستخدام الدالة الأسية وذلك بالشكل التالي:

ومن جهة أخرى، يُرمز لدالة الظل الزائدي بالرمز tanh وهي دالة تتكون من أعداد عقدية على النحو التالي :

ومن ناحية أخرى، حيث هي دالة الجيب الزائدي، و هي دالة جيب التمام الزائدي. هذا التعريف هو مماثل لتعريف الدوال المثلثية على غرار تعريف الجيب وجيب التمام، وعلاوة على ذلك أو .

الجذور

الدالة Tanh لها جذر حقيقي وجذور خيالية محضة حيث: .

في الذكاء الاصطناعي

• انظر كذلك
• دالة الجيب الزائدية
• دالة جيب التمام الزائدية

ومن ناحية أخرى، دالة الظل الزائدي هي كذلك مشابهة جدا لما يحدث في الانتشار الخلفي مع الشبكة العصبونية الاصطناعية والتي لها سمات الدالة القابلة للاشتقاق.

القيم

بعض القيم للظل الزائدي:

tanh إذن هو حل للمعادلة التفاضلية

من جهة ثانية، عند القيام بتطبيق للدالة على المجال ℝ، فإن دالتها العكسية في نفس المجال (ℝ) تكون مُعرفة على ]-1, 1[.

• دالة Tanh هي دالة دورية بمقدار iπ.
• دالة Tanh هي دالة فردية.
• تُمكن هذه الدالة من التحقق من قيمة الدالة الزائدية، حيث أن:

الدالة في سلسلة تايلور

كذلك، يمكن التعبير عن دالة Tanh في سلسلة تايلور في 0 بمساعدة أعداد بيرنولي، وذلك من خلال العلاقة التالية: