عدد ديلانوي

مثال

وعلى صعيد آخر، عدد ديلانوي D (3، 3) يساوي 63. يوضح الشكل التالي مسارات ديلانوي البالغ عددها 63 من (0، 0) إلى (3، 3):

من جانب آخر، يتم حساب المجموعة الفرعية من المسارات التي لا ترتفع فوق الخط القطري من الجنوب الغربي إلى الشمال الشرقي بواسطة عائلة ذات صلة من الأرقام، وهي أرقام شرودر.

أرقام ديلانوي المركزية

• ولها دالة توليد:
• يتم إعطاء السلوك المقارب الرائد لأرقام ديلانوي المركزية بواسطة:
• حيث و .
• انظر كذلك
• رقم موتسكين
• رقم شرودر
• مراجع

استبدال في أول تعبير مغلق أعلاه، يتم استبدال ، يعطي:

وفي هذا السياق، تلبي أرقام ديلانوي المركزية كذلك علاقة تكرار ثلاثية الحدود فيما بينها،

في حين أن التعبير الثاني أعلاه يصبح:

أرقام ديلانوي

من جانب آخر، لـ خطوات قطرية (أي شمال شرقية)، يجب أن تكون هناك خطوات في الاتجاه و خطوات في الاتجاه من أجل الوصول إلى النقطة ؛ نظرًا لأنه يمكن تنفيذ هذه الخطوات بأي ترتيب، فإن عدد هذه المسارات يُعطى بواسطة معامل متعدد الحدود . ومن ثم، نحصل على تعبير مغلق الشكل:

• يتم تقديم التعبير البديل بواسطة:
• أو بالسلسلة اللانهائية:
• وأيضا:
• حيث يتم إعطاؤه مع .
• من السهل رؤية العلاقة التكرارية الأساسية لأرقام ديلانوي على أنها:
• تؤدي علاقة التكرار هذه كذلك بشكل مباشر إلى الدالة المولدة:

مجموعة ديلانوي

علاوةً على ذلك، في هذه المصفوفة، الأرقام في الصف الأول هي واحد، والأرقام في الصف الثاني هي أرقام فردية، والأرقام في الصف الثالث هي أرقام المربع المركزي، والأرقام في الصف الرابع هي أرقام ثماني السطوح المركزية. وبدلاً من ذلك، يمكن ترتيب نفس الأرقام في مصفوفة مثلثية تشبه مثلث باسكال، والذي يُسمى كذلك مثلث تريبوناتشي، حيث يكون كل رقم هو مجموع الأرقام الثلاثة التي فوقه:

مصفوفة ديلانوي عبارة عن مصفوفة لا نهائية من أرقام ديلانوي:

• 1
• 1 1
• 1 3 1
• 1 5 5 1
• 1 7 13 7 1
• 1 9 25 25 9 1
• 1 11 41 63 41 11 1

أرقام ديلانوي المركزية

وفي هذا السياق، أرقام ديلانوي المركزية D(n) = D(n, n) هي أرقام شبكة مربعة n × n. الأرقام المركزية القليلة الأولى لديلانوي (تبدأ بـ n = 0) هي:

حساب

ومن جهة أخرى، 1، 3، 13، 63، 321، 1683، 8989، 48639، 265729، ... (التسلسل A001850 في OEIS).