عدد عقدي مقسم
المحتويات
بدايةً، الأعداد العقدية المقسمة (أو الأعداد المُغالية -hyperbolic numbers-) هي امتداد للأعداد الحقيقية تعرف بشكل مشابه للأعداد العقدية. الفرق الأساسي بينهما أن الضرب في الأعداد العقدية العادية يتم وفق المعيار التربيعي لصيغة Euclidean -إيوكليد- والتي نحصل من خلالها على مربع طويلة العدد العقدي R. الضرب في الأعداد العقدية المقسمة يتم وفق صيغة Minkowski -مينكوسكي- التربيعية . من المنظور الجبري الأعداد العقدية المقسمة لها الكثير من الخصائص المهمة مثل احتوائها على عناصر لا تتغير عندما تضرب بنفسها وهي العناصر التي تحقق المعادلة n X n = n (هذه العناصر تسمى idempotents بالإنكليزية).فضلًا عن أن مجموعة الأعداد العقدية المقسمة لا تشكل مجالاً وإنما تشكل حلقة. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
ومن ناحية أخرى، الأعداد العقدية المقسمة لها الكثير من الأسماء المرادفة الأخرى؛ أنظر فقرة الأسماء المرادفة في الأسفل. اسم «المقسمة» أتى من حقيقة أن التوقيع الموزون Metric signature لها يكون من الشكل (p,p) ويسمى التوقيع المقسم، أي أن الأعداد العقدية المقسمة مشابهة للأعداد العقدية العادية لكن توقيعها من الشكل (1,1).
تاريخ
وعلى صعيد آخر، يعود استخدام الأعداد العقدية المقسمة إلى عام 1848 من قبل الرياضي James Cockle. واستعمل William Kingdon Clifford الأعداد العقدية المقسمة في دراساته. وفي القرن العشرين أصبحت العقدية المقسمة قاعدة لتمثيل تحويلات لورنز للارتباطات الخاصة.وكما استعملها كل من العلماء I.M. Yaglom, Walter Benz, and Garett Sobczyk.
مرادفات
من جانب آخر، يوجد الكثير من الأسماء التي تسمى بها الأعداد العقدية المقسمة منها:
التمثيل المصفوفي
- يمكن تمثيل العدد العقدي z = x + j y بالمصفوفات كما يلي:
- متمم العدد العقدي المقسم يكون بضرب كلا الطرفين بالمصفوفة
- للعمل وفق القاعدة القطرية نستعمل تمثيل المصفوفة القطرية
1-^z* / ‖z‖ = z
وفي هذا الصدد، الأعداد العقدية المقسمة الغير قابلة للقلب تسمى العناصر الفارغة Null Elements والتي يكون لها الصيغة (a ± j a) من
ومن جهة أخرى، غالباً ما يكون استخدام e و *e مريحا كقاعدة بديلة للمستوي العقدي المقسم. هذه القاعدة تسمى القاعدة القطرية diagonal basis أو القاعدة الفارغة null basis ويمكن أن يكتب العدد العقدي المقسم وفق القاعدة الفارغة كما يلي:
- أجل عدد حقيقي a.
- القاعدة القطرية:
- هناك عنصران رئيسيان يحققان أن ee = e و *e*e* = e يعطيان كما يلي:
- e = (1 − j)/2 و e* = (1 + j)/2.
- لاحظ أن كلا العنصرين السابقين هو فارغ (e‖ = ‖e*‖ = e*e = 0‖).
- (a1,b1)(a2,b2) = (a1a2, b1b2).
- ومتمم العدد العقدي المقسم يعطى حسب القاعدة القطرية كما يلي:
- (a,b)* = (b,a)
- ومربع الطويلة يعطى بالشكل:
- a,b)‖ = ab)‖
- هندسة الأعداد العقدية المقسمة
- مجموعة النقاط
*z = x + j y = (x − y)e + (x + y)e.
علاوةً على ذلك، إذا كتبنا العدد *z = ae + be من أجل العددين الحقيقيين a و b بالشكل (a,b) عندها ضرب الأعداد العقدية المقسمة يعطى كما يلي:
Lorentz numbers أعداد لورنز, F.R. Harvey 1990
- split-complex numbers الأعدا العقدية المقسمة ,B. Rosenfeld 1997
- perplex numbers الأعداد المربكة , P. Fjelstad 1986
- المصادر
(جبرياً) motors المحرك , W.K. Clifford 1882
علاوةً على ذلك، double numbers الأعداد المضاعفة , I.M. Yaglom 1968 and Hazewinkel 1990
ومن جهة أخرى، hyperbolic complex numbers الأعداد العقدية المُغالية , J.C. Vignaux 1935 and G. Sobczyk 1995
ومن ناحية أخرى، dual numbers الأعداد الثنائية , L. Kauffman 1985 and J. Hucks 1993
{z : ‖z‖ = −a² }
وعلى صعيد آخر، القطع الزائد والقطع الزائد المتمم مفصولان بالمقاربان القطريان اللذان يشكلان مجموعة العناصر الفارغة null elements:
كذلك، مع فرع علوي وفرع سفلي يمر عبر (o , a) و (o , -a) على التتالي.
{z : ‖z‖ = a² }
من جهة ثانية، تشكل قطع زائد من أجل كل قيمة غير صفرية a من R. القطع الزائد يمر فيه الفرع اليميني والفرع اليساري من النقط (a , 0) و ( a , 0-)على التتالي. حالة a = 1 تسمى القطع الزائد الواحدي (unit hyperbola).
القطع الزائد المتمم يعطى كما يلي:
‖zw‖ = ‖z‖‖w‖
- الجداء الداخلي الموافق للصيغة (1,1) يعطى بالشكل:
- z, w> = Re(zw*) = Re(z*w) = xu − yv>
- حيث z = x + j y و w = u + j v.
- لاحظ أن:
خواص الأعداد العقدية المقسمة
z = x + j y
كذلك، المتمم:كما في الأعداد العقدية العادية يمكننا أن نحصل على متمم عدد عقدي مقسم كما يلي إذا كان
z = x + j y
وفي هذا الصدد، المقدار j هنا ليس عدداً حقيقياً وإنما مقدار مستقل؛ وحيث أنه لا يساوي ±1.
من جانب آخر، وهنا يظهر فرق آخر بين الأعداد العقدية المقسمة والعقدية العادية حيث أن اختيار يجعل النتيجة عددا عقدياً عادياً.
- (x + j y) + (u + j v) = (x + u) + j(y + v)
- (x + j y)(u + j v) = (xu + yv) + j(xv + yu).
- الضرب هو تبديلي وتجميعي وقابل للتوزيع على الجمع.
j2 =-1.
في هذا الإطار، إن مجموع جميع الأعداد z يشكل ما يسمى المستوي العقدي المقسم. الجمع والضرب للأعداد العقدية المقسمة يعرف كما يلي:
حيث x,y أعداد حقيقية والمقدار j يحقق ما يلي
يعرف متمم z كما يلي
z‖ = zz* = z*z = x² − y²‖
الإتمام هنا يحقق نفس خواص الإتمام في العقدية العادية.
z* = x − j y.
المقسمة:
كذلك، القاعدة التربيعية (أو الصيغة التربيعية أو مربع الطويلة) لعدد عقدي مقسم z = x + j y تعطى كما يلي:
وفي هذا السياق، لاحظ أن هذه الصيغة ليست موجبة دوماً ويكون لها التوقيع (1,1). من الصفات الهامة لهذه الصيغة أنها محققة من أجل ضرب الأعداد العقدية
{z : ‖z‖ = 0 }
ومن جهة أخرى، هذان المستقيمان (يسميان أحياناً المخروط الفارغ null cone) متعامدان ولهما ميل يساوي ±1.
<z‖ = <z, z‖
علاوةً على ذلك، رياضياً، يقال عن عددين عقديين مقسمين z و w أنهما متعامدان إذا كان
التعريف
العدد العقدي المقسم له أحد الأشكال التالية:
z, w> = 0>
من جهة ثانية، نقول عن عدد عقدي مقسم أنه قابل للقلب إذا وفقط إذا كان مربع طويلته لا يساوي الصفر(z‖ ≠ 0‖) ويكون مقلوبه يعطى كما يلي:
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟