عدد منطق
المحتويات
تعريفًا بالموضوع، في الرياضيات، العدد المُنْطَق أو العدد المُنَطَّق أو العدد الناطق أو العدد النسبي أو العدد القياسي أي عدد يمكن صياغته على شكل نسبة بين عددين صحيحين إلى بعضهما وعادة ما تكتب بالشكل: أو وتدعى كسرًا، حيث ب لا تساوي الصفر. يُدعى أ أو a البسط أو الصورة، ويُدعى ب أو b المخرج أو المقام. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
علاوةً على ذلك، للعدد المنطق صور كثيرة وجميعها متساوية حيث يمكن كتابة أي عدد منطق بعدد غير منته من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): .
ومن ناحية أخرى، يمكن كذلك التعبير عن أي عدد منطق في شكل كسر عشري. ويكون الكسر العشري الناتج إما دوريا أو غير دوري. فمثلا الكسر 1/2 يساوي 0.5 ككسر عشري، أو الكسر 1/4 هو كذلك كسر عشري منته فهو 0.25. أما الكسر غير المنتهي فيتمثل مثلًا 1/3 حيث أنه دوري ولا ينتهي 0.3333333333 (أي أن الأرقام الموجودة في الكسر العشري تتكرر بشكل دوري: 0.234234234، ومثل 12.363636 ومثل 452.563256325632)(أنظر أسفله).
كذلك، وأول من استعمل هذا الترميز هو عالم الرياضيات الإيطالي جوزيبه بيانو، أتى هذا الرمز من الحرف الأول للكلمة الإيطالية "quoziente" التي تعني «خارج قسمة».
علاوةً على ذلك، ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق: ).
يرمز إلى مجموعة الأعداد المنطقة بالرمز ،
التوسيع
مثال على ذلك:
من جانب آخر، يتم توسيع الكسر لكي يتم تسهيل المعادلة المراد حلها وتبسيطها حيث يتم التوسيع كالاتي:
كذلك، من المعروف أن الضرب بواحد يبقي التعبير كما هو؛ أي أنه لا يغير قيمته. يتم تعريف التوسيع بالشكل الاتي:
المقلوب
- مقلوب العدد المنطق يساوي:
- ومقلوب العدد المنطق هو:
- ناتج ضرب أي عدد منطق بمقلوبه يساوي الواحد
الكسر المصري
- كل عدد جذري موجب يمكن أن يكتب على شكل مجموع مقلوب أعداد صحيحة طبيعية مختلفة.
- مثال
- انظر كذلك
- عدد غير منطق
- فاصلة عائمة
- مبرهنة نيفن
- توحيد مقامات
- الملاحظات
التساوي
- يكون عددان منطقان و متساويين فقط وفقط إذا كان .
- فإذا كانت a=1
- b=2
- c=3
أما إذا كانت في هذا المثال d=7
- فيكون الكسران غير متساويين.
- الترتيب
- إذا كان كلا المقامين موجبا فإن
d=6
يكون العددان الكسريان متساويين.
الأس
وفي هذا السياق، كما يوجد كذلك المقلوب الجمعي والجدائي في الأعداد المنطقة كما يلي:
الطرح
يتم طرح الأعداد المنطقة كالآتي:
كما يمكن كتابتها الآتي:
الجمع
- يتم جمع عددين منطقين كما يلي:
- جرب الطريقة باختيارك أعدادا ل a , b , c, d.
- انظر إلى مضاعف مشترك أصغر
الاختزال
وفي السياق ذاته، هو عكس التوسيع. القصد هو أن يتم استبدال عملية الضرب بواحد بعملية القسمة.
مجموعة الأعداد المنطقة - ويرمز لها بالرمز
من جانب آخر، - هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية وتحوي مجموعة الأعداد الصحيحة، أي أن
العمليات الحسابية
- . وتكون مجموعة الأعداد المنطقة حقلاً مرتبًا أرشميديًا.
- من الحقائق المعروفة كذلك عن الأعداد المنطقة:
- أي عدد منطق هو عدد جبري (أي حل لمعادلة جبرية معاملاتها أعداد صحيحة).
- أي عدد منطق له تمثيل عشري منته أو دوري.
- وبالعكس أي عدد له تمثيل عشري منتهٍ أو دوري يكون بالضرورة عددًا منطقًا.
وفي هذا السياق، الأعداد الحقيقية غير المنطقة لا تمتلك صفة الدورية في التمثيل العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين: وهذه تدعى بالأعداد غير المنطقة.
a/b-c/d=(ad-bc)/bd
حيث لا بد من وضع البسط بين قوسين كما هو مبين في هذا المثال.
أمثلة
وعلى صعيد آخر، إذا كان الكسر العشري دوريا يستعمل رمز الخط العلوي للتعبير عن هذه الأعداد المنطقة الدورية، كالآتي:
في هذا الإطار، الأعداد المكتوبة بين أقواس هي كسور مكتوبة بنظام العد الثنائي؛ وهي الطريقة التي يحسب بها الحاسوب.
علاوةً على ذلك، ملحوظة: عند كتابة الكسور العشرية بالعربية نستعمل «فاصل» أو «فاصلة» (2,5) وهي طريقة يستعملها نظام الكسور الألماني، وكذلك النظام الفرنسي، أما في الإنكليزية فهم يستعملون «النقطة» (2.5).
كذلك، بالمقابل توجد مجموعة من الأعداد الحقيقية لا تمتلك صفة الدورية هذه في الكسر العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين: وهذه تدعى بالأعداد غير المنطقة.
الضرب
وتتم عملية الضرب كما يلي:
صفات الأعداد المنطقة
من جانب آخر، العدد المنطق هو ما يمكن كتابته كسرا اعتياديا أو خارج قسمة عددين صحيحين. وعادة ما تكتب بالشكل: أ / ب أو a/b حيث ب لا تساوي الصفر، ندعو أ أو a الصورة أو البسط، وندعو ب أو b المخرج أو المقام.
وفي السياق ذاته، يمكن كتابة أي عدد منطق بعدد غير منته من الأشكال (نتيجة عن خواص التناسب): . ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق: ).
إذا وفقط إذا توفر
و
ومن ناحية أخرى، إذا كان كلا المقامين سالبا فإنه ينبغي مسبقا تحويل الكسرين إلى أشكال مكافئة بمقامات موجبة، من خلال المعادلتين:
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟