عنصر الحجم

عنصر مساحة السطح

إضافةً إلى ذلك، التي تسمح بحساب مساحة المجموعة B الواقعة على السطح عن طريق حساب التكامل

علاوةً على ذلك، وقيمة i من 1 إلى n، بينما قيمة j من 1 إلى 2. يستحث المقياس الإقليدي في الفضاء ذي البعد n مقياسًا على المجموعة U، وتكون عناصر المصفوفة

إضافةً إلى ذلك، وبالتالي يحدد سطح مضمن في . في بُعدين، فإن الحجم هو مجرد مساحة، ويُعطي عنصر الحجم طريقة لتحديد مساحة أجزاء من السطح. وبالتالي فإن عنصر الحجم هو تعبير على الصورة

وعلى صعيد آخر، يمكن استكشاف مثال بسيط لعنصر الحجم من خلال التفكير في سطح ثنائي الأبعاد مضمن في الفضاء الإقليدي ذي البعد n. يسمى عنصر الحجم هذا أحيانًا عنصر المساحة. افترض مجموعة فرعية ودالة

وعلى صعيد آخر، هنا سنجد عنصر الحجم على السطح الذي يحدد المنطقة بالمعنى المعتاد. المصفوفة الياكوبية للدالة هي

يُعطى محدد المقياس بواسطة

• الآن افترض تغيير الإحداثيات على U، من خلال اختلاف الشكل diffeomorphism
• بحيث الإحداثيات تُعطى بدلالة بواسطة . المصفوفة الياكوبية لهذا التحول هي
• في الإحداثيات الجديدة لدينا

وعلى صعيد آخر، بالنسبة للأسطح العادية، فإن هذا المحدد لا يتلاشى؛ بالمثل، المصفوفة الياكوبية لها المرتبة 2.

وبالتالي

من جانب آخر، يمكن اعتبار هذا كحالة خاصة لحقيقة أن الأشكال التفاضلية تتحول من خلال التراجع (pullback) بحيث

مثال: الكرة

وفي هذا السياق، مثلًا، نفترض الكرة التي نصف قطرها r ومركزها عند نقطة الأصل في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد R 3. يمكن تحديد معلمات باستخدام الإحداثيات الكروية كالتالي

• إذن
• وعنصر المساحة هو
• انظر كذلك
• تكامل سطح Surface integral
• تكامل حجم Volume integral

عنصر الحجم لمتعددات الشعب

علاوةً على ذلك، بالمثل، عنصر الحجم هو بالضبط موتر Levi-Civita (Levi-Civita tensor). في الإحداثيات،حيث هو محدد موتر متري g مكتوب في نظام الإحداثيات.

في هذا الإطار، في متعدد الشعب الريماني الموجه ذي البعد n، يكون عنصر الحجم يساوي Hodge المزدوج (Hodge dual) لدالة الوحدة الثابتة، :

عنصر الحجم من الفضاء الجزئي الخطي

علاوةً على ذلك، للعثور على عنصر الحجم في الفضاء الجزئي، من المفيد معرفة «حقيقة» من الجبر الخطي تنص على أن حجم متوازي السطوح parallelepiped يمتد بواسطة هو الجذر التربيعي لمحدد المصفوفة الجرامية Gramian matrix لـ :

علاوةً على ذلك، نفترض الفضاء الجزئي الخطي للفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n والذي يمتد بواسطة مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا

يمكن إعطاء إحداثيات لأي نقطة p في الفضاء الجزئي بحيث

هذا يحدد بالتالي شكل الحجم في الفضاء الجزئي الخطي.

وفي هذا الصدد، عند نقطة ما p، إذا شكلنا متوازي سطوح صغير أبعاد جوانبه هي ، فإن حجم متوازي السطوح هو الجذر التربيعي لمحدد المصفوفة الجرامية

عنصر الحجم في الفضاء الإقليدي

مثلًا، في الإحداثيات الكروية

المحدد الياكوبي هو

وفي هذا السياق، في أنظمة إحداثيات مختلفة على الصورة و و، يتغير عنصر الحجم بواسطة المصفوفة الياكوبية Jacobian (المحدد) لتغيير الإحداثيات:

من جهة ثانية، في الفضاء الإقليدي، يُعرِّف عنصر الحجم بواسطة حاصل ضرب تفاضلات الإحداثيات الديكارتية

وهكذا يتحول المقياس كـ

إضافةً إلى ذلك، وبالتالي، في أي من نظامي الإحداثيات، يأخذ عنصر الحجم نفس التعبير: يكون التعبير عن عنصر الحجم ثابتًا عند تغيير الإحداثيات.

ومن ناحية أخرى، في بُعدين، يكون الحجم هو المساحة فقط.. مساحة مجموعة فرعية من خلال التكامل

حيث هو مقياس الانسحاب في نظام الإحداثيات v. والمحدد هو

ومن ناحية أخرى، لاحظ أنه لم يكن هناك شيء خاص ببعدين في العرض أعلاه؛ ما ورد أعلاه يعمم على أية أبعاد اختيارية.

ومن ناحية أخرى، بالنظر إلى البناء أعلاه، يكون من السهل الآن فهم كيف يكون عنصر الحجم ثابتًا في ظل تغيير الإحداثيات مع الحفاظ على الاتجاه.