فرضية هوبف

المساحات الريمانية المتماثلة

وفي هذا السياق، على نحو خاص، المتشعبة رباعية الأبعاد S2×S2 يجب ألا تتيح قياس ريماني مع انحناء قطاعي إيجابي.

من جهة ثانية، المساحة المتماثلة المضغوطة ذات الرتبة الأكبر من واحد لا تستطيع حمل القياس الريماني للانحناء القطاعي الإيجابي.

المتشعبات الريمانية المنحنية بشكل إيجابي

من جانب آخر، بالنسبة للأسطح، تأتي هذه الفرضية من نظرية غاوس-بونيه. بالنسبة للمتشعبات رباعية الأبعاد، ينبع هذا من محدودية المجموعة الأساسية وازدواجية بوانكاريه. وتم إثبات هذه الفرضية للمتشعبات ذات البعد 4k+2 أو 4k+4 التي تتيح عملاً حلقيًا متساوي الأبعاد للنتوء البعدي k، وبالنسبة للمتشعبات M التي تتيح عملاً متساوي الأبعاد لمجموعة لاي المضغوطة G مع المجموعة الفرعية لاتساق الاتجاهات الرئيسية H ومعامل التجانس k، حيث إن

علاوةً على ذلك، في إحدى الفرضيات ذات الصلة، يتم استبدال «إيجابي» بـ «غير سلبي».

كذلك، المتشعبة الريمانية المدمجة والبُعدية ذات الانحناء القطاعي تتمتع بخاصية يولر الإيجابية.

مقاييس بلا نقاط اقتران

ومن ناحية أخرى، المقياس الريماني بلا نقاط اقتران على النتوء البعدي من النوع n مسطح."

تم إثباتها بواسطة دي بوراجو وإس إيفانوف

المتشعبات شبه الكروية

من جهة ثانية، هذا الإصدار الطوبولوجي لفرضية هوبف الخاصة بالمتشعبات الريمانية هو نتاج أفكار وليام ثورستون. وافترض روث تشارني ومايك ديفيس أن نفس التفاوت ينطبق على المتشعبة الإكلودية المقطعية (PE) المنحنية بشكل غير إيجابي.

إضافةً إلى ذلك، افترض أن M2k هي متشعبة شبه كروية مغلقة لبعد مستوٍ. من ثم، فإن خاصية يولر الخاصة بها تلبي التفاوت