فضاء كامل

متتالية كوشي

وفي هذا السياق، يُقال عن متتالية في فضاء متري أنها لكوشي إذا توفر فيها ما يلي: مهما يكن r عددا حقيقيا موجبا قطعا (أي أن )، فإنه هناك عدد طبيعي حيث كلما كان عددان طبيعييان أكبر من هذا العدد، فإنه يتوفر ما يلي:

.

فضاء كامل

من جانب آخر، كل متتالية لكوشي معرفة في X مجموعة تتقارب في X (أي أنها تتقارب من نقطة ما من X).

وفي السياق ذاته، يقال عن فضاء متري أنه كامل إذا توفرت أحدي هذه الشروط المتكافئة الواحدة منهن مع الأخريات:

وعلى صعيد آخر، لكل متتالية لكوشي مكونة من نقط تنتمي إلى مجموعة X، نهاية تنتمي هي الأخرى إلى نفس المجموعة X.

أمثلة

• بعض المبرهنات
• الاكتمال
• فضاءات كاملة طوبولوجيا

ومن ناحية أخرى، فضاء الأعداد الجذرية Q، مزودا بالقياس المتري الاعتيادي المتمثل في القيمة المطللقة عندما تُحسب على الفرق بين عددين جذريين، ليس بفضاء كامل. من أجل بيان ذلك، لتكن المتتالية المعرفة كما يلي

في هذا الإطار، هذه المتتالية هي متتالية لكوشي ولكنها لا تؤول إلى إلى أي عدد جذري. إذا كان لهذه المتتالية نهاية فإن أي أن .

و .