فضاء نقطي
قبل الخوض في التفاصيل، في الرياضيات، الفضاء النقطي (pointed space) هو الفضاء الطوبولوجي X مع نقطة قاعدة مميزة x0 في X. وتمثل دوال الفضاءات النقطية (الدوال القاعدية) دوالاً مستمرة تحافظ على نقاط قاعدة، أي الدالة المستمرة f : X → Y بمعنى أن f(x0) = y0. وعادةً ما يدل ذلك على
كذلك، يعد مفهوم المجموعة النقطية أقل أهمية؛ فالأهم عمومًا هو الفضاء المتقطع النقطي.
كذلك، إن الفضاءات النقطية مهمة في الطوبولوجيا الجبرية، وخصوصًا في نظرية الهموتوبي؛ حيث تعتمد الكثير من التراكيب، مثل المجموعة الأساسية على اختيار نقطة القاعدة.
f : (X, x0) → (Y, y0).
العمليات المتعلقة بالفضاءات النقطية
وفي هذا الصدد، الناتج الجانبي (coproduct) في فئة الفضاءات النقطية هو مجموع الوتد، الذي يمكن اعتباره اتحاد نقطة واحدة من الفضاءات.
ومن ناحية أخرى، يعد التعليق المختزل مُقرنًا من فئة الفضاءات النقطية لنفسه. وهذا المقرن هو قرين أيسر للمُقرن حيث يأخذ الفضاء القاعدي إلى فضائه الحلقي .
وفي السياق ذاته، يمكن صياغة ناتج فضائين نقطيين (X, x0), (Y, y0)؛ حيث يمثل الناتج الطوبولوجي X × Y مع (x0, y0) نقطة القاعدة.
من جانب آخر، الفضاء الجزئي (subspace) في الفضاء النقطي X هو الفضاء الجزئي الطوبولوجي A ⊆ X الذي يشارك نقطة قاعدته مع X بحيث تحافظ دالة الاحتواء على نقطة القاعدة.
من جانب آخر، إن التعليق المختزل (reduced suspension) ΣX للفضاء النقطي X هو (يصل إلى التشاكل المستمر) الناتج الكسري لـX والدائرة النقطية S1.
كذلك، يمكن صياغة خارج قسمة للفضاء النقطي X تحت أي علاقة تكافؤ. وتكون نقطة قاعدة خارج القسمة صورة نقطة القاعدة في X تحت دالة خارج القسمة.
وفي هذا الصدد، إن الناتج الكسري (smash product) للفضائيين النقطيين هو في الأساس خارج القسمة للناتج المباشر ومجموع الوتد. ويقوم الناتج الكسري بتحويل فئة الفضاءات النقطية إلى فئة موترة متناظرة وتكون الكرة ذات البُعد الصفري كائن الوحدة.
تصنيف الفضاءات النقطية
في هذا الإطار، تشكل المجموعة المكونة من كافة الفضاءات النقطية فئة الفضاءات الطوبولوجية (Top)• مع نقطة قاعدة تحافظ على الدوال المستمرة مثل الاقترانات. وهناك طريقة أخرى للتفكير في هذه الفئة؛ ألا وهي فئة الفاصلة، ({•} ↓ Top) حيث {•} هي أي فضاء نقطي وTop هي فئة الفضاءات الطوبولوجية. (وهذا يسمى كذلك فئة الشريحة المزدوجة (coslice category) ويشار إليها بـ{•}/Top.) والكائنات الموجودة في هذه الفئة عبارة عن دوال مستمرة {•} → X. ويمكن التفكير في هذه الاقترانات على أنها انتقاء نقطة قاعدة في X. والاقترانات في ({•} ↓ Top) هي اقترانات في Top التي يتم لأجلها مخطط تبادلي|استبدال: المخطط التالي
ملف:PointedSpace-01.png
من جهة ثانية، من السهل رؤية أن تبادلية المخطط مساوية لحالة حفاظ f على نقاط قاعدة.
من جانب آخر، وكفضاء نقطي، فإن {•} هي كائن صفري في Top• بينما تكون مجرد كائن نهائي في Top.
في هذا الإطار، يوجد مُقرن غافل Top• → Top «يغفل» عن تحديد أي نقطة هي نقطة القاعدة. ويحتوي هذا المُقرن على قرين أيسر يحدد لكل فضاء طوبولوجي X الاتحاد المنفصل لـX وفضاء نقطة واحدة {•} يتم التعامل مع عنصره الوحيد على أنه نقطة القاعدة.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟