قوة محافظة

تعريف لامنهجي

علاوةً على ذلك، القوة الثقالية والقوة النابضية والقوة المغناطيسية (وفق بعض التعاريف) والقوة الكهربائية (على الأقل في حقل مغناطيسي غير معتمد على الزمن، انظر قانون فاراداي للحث المغناطيسي للتفاصيل) هي أمثلة على قوى محافظة، بينما الاحتكاك ومقاومة الهواء أمثلة تقليدية على القوى غير المحافظة.

وفي هذا الصدد، بشكل لامنهجي، يمكن التفكير بالقوة المحافظة على أنها قوة تحافظ على الطاقة الميكانيكية. افترض جسيمًا يبدأ من النقطة أ، وهناك قوة F تؤثر عليه. ثم يتحرك الجسيم بقوى أخرى لينتهي به المطاف عند النقطة أ من جديد. مع أن الجسيم ربما يكون ما يزال في حالة حركة لحظة مروره من أ مجددًا، فإنه قد انتقل في مسار مغلق. إذا كان الشغل الصافي المقدم من القوة F مساويًا 0، فإن F تحقق شرط المسار المغلق. أي قوة تحقق هذا الشرط لكل المسارات المغلقة المحتملة تصنف كقوة محافظة.

وفي هذا السياق، للقوى غير المحافظة، يجب على الطاقة الميكانيكية المفقودة (غير المحفوظة) أن تذهب إلى مكان آخر، وفق حفظ الطاقة. عادةً ما تتحول تلك الطاقة إلى حرارة، كالحرارة المتولدة من الاحتكاك. إلى جانب الحرارة، غالبًا ما ينتج الاحتكاك قدرًا من الطاقةً صوتية. تحول مقاومة الماء المؤثرة على قارب متحرك الطاقة الميكانيكية للقارب إلى أكثر من مجرد صوت وحرارة، إذ تحول جزءًا منها إلى طاقة أمواج عند أطراف الأثر المتشكل خلفه. وهذه الطاقات المفقودة وغيرها غير عكوسة بسبب القانون الثاني للديناميكا الحرارية.

عدم الاعتماد على المسار

إضافةً إلى ذلك، هذا موضح في الشكل المجاور: الشغل الذي تبذله قوة الجاذبية على جسم يتعلق فقط بالفرق في الارتفاع لأن قوة الجاذبية قوة محافظة. يساوي شغل القوة المحافظة المقدار السالب للتغير في الطاقة الكامنة أثناء تلك العملية. للاستدلال على ذلك: لنفترض مسارين 1 و2، كلاهما يصلان بين النقطة أ والنقطة ب. تغير الطاقة للجسيم الذي يتبع المسار 1 من أ إلى ب ومن ثم يتبع المسار 3 بالعكس من ب إلى أ هو 0؛ لذا فالشغل نفسه في المسارين 1 و2. أي أن الشغل لا يتعلق بالمسار المتبوع طالما أنه بين النقطة أ والنقطة ب.

وعلى صعيد آخر، مثلًا، إذا تزحلق طفل على منحدر عديم الاحتكاك، فإن الشغل الذي تبذله القوة الثقالية على الطفل من بداية المنحدر حتى نهايته لا يتعلق بشكل المنحدر، بل يتعلق فقط بالإزاحة الشاقولية للطفل.

ومن جهة أخرى، كنتيجة مباشرة لشرط المسار المغلق فإن الشغل المبذول على جسيم يتحرك بين أي نقطتين لا يتعلق بالمسار الذي يسلكه الجسيم.

القوة غير المحافظة

وعلى صعيد آخر، النسبية العامة غير محافظة، كما نرى في الانحراف البداري لمدار عطارد. ولكن النسبية العامة تحفظ موتر «إجهاد-طاقة-كمية حركة» زائف.

وفي هذا السياق، من الأمثلة على القوى غير المحافظة: الاحتكاك وإجهاد المواد غير المرنة. رغم حفظ الطاقة الكلية، يمكن نشوء قوى غير محافظة في الفيزياء الكلاسيكية بسبب درجات الحرية المهملة أو من الكمونات المعتمدة على الزمن. فمثلًا، يمكن معاملة الاحتكاك دون انتهاك حفظ الطاقة بدراسة حركات الجزيئات الفردية؛ ولكن ذلك يعني وجوب دراسة حركة كل جزيء بدلًا من استخدام الطرق الإحصائية. بالنسبة للأنظمة ذات الأبعاد الكبيرة (الماكروسكوبية)، فإن التقريب غير المحافظ يكون أسهل بكثير من التعامل مع ملايين درجات الحرية.

الوصف الرياضي

ومن جهة أخرى، يدعى حقل قوى F معرف في كل مكان من الفراغ (أو ضمن حجم بسيط الربط في الفراغ) حقل قوى محافظة أو حقًلا شعاعيًا محافظًا إذا حقق أيّاً من هذه الشروط المتكافئة:

وعلى صعيد آخر، الكثير من القوى (وخصوصًا تلك التي تعتمد على السرعة) ليست حقول قوى. في هذه الحالة فإن الشروط آنفة الذكر غير متكافئة رياضيًّا. مثلًا، تحقق القوة المغناطيسية الشرط الثاني (بما أن الشغل الذي يبذله حقل مغناطيسي على جسيم مشحون يساوي الصفر دائمًا)، لكنها لا تحقق الشرط الثالث، والشرط الأول غير معرف أصلًا (القوة ليست حقلًا شعاعيًا، لذا لا يمكن تقدير دورانها). بحسب ذلك، يصنف بعض المؤلفين القوة المغناطيسية قوةً محافظةً، في حين يخالفهم آخرون. القوة المغناطيسية حالة شاذة؛ فأغلب القوى المتعلقة بالسرعة، كالاحتكاك، لا تحقق أيًّا من الشروط الثلاث، وبالتالي فهي غير محافظة دون شك.

من جانب آخر، يأتي المصطلح قوة محافظة من حقيقة أنه عندما توجد قوة محافظة فإنها تحفظ الطاقة الميكانيكية. أكثر القوى المحافظة ألفةً هي الجاذبية، والقوة الكهربائية (في حقل مغناطيسي غير معتمد على الزمن، انظر قانون فاراداي)، والقوة النابضية.