قوس الظل
تعريفًا بالموضوع، في الرياضيات، دالة قوس الظل لعدد حقيقي المعرفة على هي الدالة العكسية لدالة الظل، مستقرها هو ، وحدتها هي الراديان. تسمى عملية استخدامها بتقويس الأظلال، وتعود هذه التسمية إلى عصر الحضارة الإسلامية. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
وفي السياق ذاته، الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي، قيمة قوس الظل الخاص به يرمز لها بـ arctan أو . ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الظل المثلثية المقتصرة إلى المجال .
وفي هذا السياق، في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس ظل الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الظل المقتصرة إلى المجال بانعكاس حول المحور ذو المعادلة .
إثبات
يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:
نضع :
الشكل اللوغاريتمي
- يمكننا التعبير عن دالة قوس الظل باستخدام اللوغاريتم العقدي:
- حيث هي دالة الظل الزائدية العكسية.
- تمثيل الدالة العقدية
- طالع كذلك
- دوال مثلثية عكسية
- قوس الجيب
- قوس جيب التمام
- قوس الظل ثنائي العمدة
إثبات آخر
- يمكن استنتاج مشتقة قوس الظل كالتالي:
- 1. معلوم أن tan(arctan(x))=x بتفاضل الطرفين:
- نحصل على :
- بتبسيط tan(arctan(x)) نحصل على:
- و بترتيب التعبير نحصل على مشتقة دالة قوس الظل :
تمثيل بواسطة متسلسلة
.
يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:
مشتق
دالة الظل العكسية تقبل الإشتقاق على ودالتها المشتقة هي:
المشتق العكسي
علاوةً على ذلك، يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الظل عن طريق التكامل بالتجزئة :
على المستوي العقدي
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟