كسر مستمر

نشر π في كسر مستمر

الصورة المختصرة:

حساب تمثيل الكسور المستمرة

من جانب آخر، وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

وفي هذا الصدد، ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r.

علاوةً على ذلك، لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.

• صور الكسور المستمرة
• أو
• أو
• وأحيانا
• أو

و

مثلًا، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :

في هذا الإطار، إذا كانت (In(x هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية p/q

وفي هذا الصدد، الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.

وفي هذا السياق، كسر متصل منته,حيث a0 هو عدد صحيح ما، و n هو عدد صحيح طبيعي و ai هي أعداد صحيحة طبيعية.

تاريخ الكسور المستمرة

انظر كذلك

شجرة ستيرن-بروكوت

من جهة ثانية، في عام 1761، أثبت يوهان لامبرت لأول مرة أن عدد غير جذري. استعمل من أجل هذا الهدف الكسور المستمرة الممثِلة ل tan(x).

وفي هذا السياق، في عام 1737، درس ليونهارت أويلر خصائص الكسور المستمرة واستنتج أن e عدد غير جذري.

أنماط منتظمة من الكسور المستمرة

ولدينا كذلك، عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,

كسر مستمر معمم

• متسلسلة (رياضيات)
• جداء غير منته
• مراجع

الكسور المستمرة غير المنتهية

وتكون الصيغ المتقاربة

وبصيغة أخرى:

(...,ai = (3,1,4,1,5,9,2

من جهة ثانية، لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :

وفي السياق ذاته، لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.

كذلك، التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا وفقط إذا كان ذلك العدد جذريا.

[a0; a1, … an − 1, an] = [a0; a1, … an − 1, an − 1, 1]

لكل عدد غير جذري، تمثيل وحيد بالكسور المستمرة.

الكسور المستمرة المنتهية

• هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:
• مثل,
• الكسور المستمرة للمقاليب
• مثل,

نظرية 3

إذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو ، حينئذ

إذا كانت n ّعدد فردي

• الحالة الخاصة عند n = 1:
• الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي
• حيث n عدد صحيح موجب; كذلك

بعض المبرهنات المفيدة

• إذا كان a0، a1، a2،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب و بالمعاودة:
• نظرية 1
• لاي موجب
• نظرية 2
• التقاربات [a0; a1, a2,...]تعطى بالعلاقة

أو

كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

تحفيز

كذلك، تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.

• لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:
• تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
• تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
• لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
• تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.

ومن ناحية أخرى، بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].

كذلك، الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:

في هذا الإطار، لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه على وجه التقريب 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، على وجه التقريب 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا كذلك; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط.

كذلك، بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.

في هذا الإطار، لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن الكثير من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. مثلًا العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

ومن ناحية أخرى، حيث a0 عدد صحيح، وكل ai آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π مثلًا، بتعاقب من الاعداد (ai) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).