لاغرانجيان

,

على سبيل مثال مصونية الزخم العام

وهذه كمية مصونة وهي حالة خاصة من مبرهنة نويثر

,

وبسهولة يمكن أن نرى أن لاغرانجيان نظام هو من الشكل

الإحداثي الدوري وقوانين المصونية

كذلك، من أهم مزايا لاغرانجيان هي سهولة اشتقاق قوانين المصونية منه. فإذا كان اللاغرانجيان يعتمد على مشتق الزمن لإحداثيات عامة ولكن غير مرتبط ب بنفسه عندها تعطى الحركة العامة بالعلاقة:

علي سبيل المثال

إضافةً إلى ذلك، وباستخدام أساسيات الحركة على الأقل ومعادلات لاغرانجيان يمكننا استنتاج مسارات حركة المقذوفات، عن طريق التجربة والخطأ أو حساب المتغيرات.

وفي السياق ذاته، «لو أن الفيزياء عرفت مشكلة ميكانيكا قذف الكرات بشكل أنيق، عندها سوف نعرف المشكلات الأخرى بنفس الطريقة. لذلك فهي تبدوا الآن. بعمق، في الوقت الحاضر حيث يمكننا وصف كل القوى الأساسية تحت شروط معادلات لاغرانجيان. البحث عن معادلة فيزيائية واحدة، التي تحكم كل الكون، تم البحث عنها علي نطاق واسع للحصول علي معادلات لاغرانجيان الملائمة.»

صيغة لاغرانجيان

في هذا الإطار، المسار المنحني لحركة المقذوفات قد وصفت عن طريق مجموعة قيم لاغرانج بالنسبة لوحدات الزمن بداية من أقل قيمة صغرى.

وفي السياق ذاته، حساب لاغرانجيان، L = T - V، في لحظات زمنية متعددة (t)، لنحصل على رسم بياني يعبر عن L وt.

من جهة ثانية، المساحة التي تحت المنحني تُعبِّر عن الحركة. أي تغير في المسار بين أول نقطة وآخر نقطة يؤدي إلي تغير كبير في الحركة عن ما اختارته الطبيعة. الطبيعة تختار الحركات الصغيرة- وهذا هو أساسيات الحركة علي الأقل.

وبذلك يمكن كتابة معادلة أويلر-لاغرانج

كذلك، وباستخدام هذه المعادلة نجد أن لاغرانجيان ينتهي إلى قانون نيوتن الثاني

المزايا

من جهة ثانية، المعادلات المشتقة من لاغرانجيان تكون تلقائيا واضحة ومنسقة، على عكس المعادلات التي تجمع من صياغات متعددة.

ومن جهة أخرى، المعادلة غير مرتبطة بأي نظام إحداثي وبالتالي يمكن استخدام أي متغيرات لوصف حالة النظام وتدعى هذه المتغيرات بالإحداثيات العامة ويمكن أن تكون أي متغيرات مستقلة. وهذا يسهل من عملية دمج القيود ضمن النظرية بتعريف حالة النظام بحيث تكون ملائمة للقيد.

من جهة ثانية، إذا كان لاغرانج غير متغير تحت ظروف تناظرية، فإن المعادلات الناتجة من الحركة هي أيضاغير متغيرة في إطار هذا التناظر. هذا مفيد جدا في عرض النظريات التي تتفق مع النسبية الخاصة أو النسبية العامة.

أمثلة من الميكانيك الكلاسيكي

.

بفرض فراغ ثلاثي البعد، يكون لاغرانجيان:

الشرح

كذلك، وينتج عن اشتقاق هذا التابع معادلة أويلر - لاغرانج. مثلًا وحسب الميكانيك الكلاسيكي فإن المتغيرات المستقلة لحركة الجزيئات هي فقط الزمن tوبذلك تنتج معادلة أويلر-لاغرانج

• تعطى معادلة الحركة من تغير الفعل حسب مبدأ الفعل
• حيث الفعل ، هو تابع لمتغيرات مستقلة ومشتقاتها وS نفسها
• حيث تدل على مجموعة من n متغير مستقل في النظام مرتبة

ومنه معادلة أويلر-لاغرانج

حيث .

وبالاشتقاق ينتج

الأهمية

من جهة ثانية، يرتبط الفعل الفيزيائي والطور الموجي في ميكانيك الكم من خلال مبرهنة نويثر والتي تربط المصونية الكمومية باستمرار تناظر النظام الفيزيائي

وفي هذا الصدد، لا تنبع أهمية معادلة لاغرانجيان من خلال تطبيقاتها الواسعة، إنما كذلك تعزز الفهم الفيزيائي العميق. وعلى الرغم من أن بداية اللاغرانجيان سعت إلى وصف الميكانيكا الكلاسيكية، إلا أن مبدأ الفعل الذي استعمل لاغرانجيان لاشتقاقه ذو تطبيقات واسعة في ميكانيكا الكم.

وفي هذا الصدد، سمحت مبرهن نويثر ولاغرنجيان في ظهور المبدأ الكمومي الأول من خلال إضافة محول بين الشروط المحددة لمعادلة لاغرانجيان الحركية ضمن النظام الفيزييائي