لغارتم عقدي
بدايةً، في التحليل عقدي، اللغارتم العقدي دالة عكسية للدالة الأسية العقدية، تمامًا كما هو الحال بالنسبة إلى اللغارتم الطبيعي الذي هو الدالة العكسية للدالة الأسية الحقيقية ex. إذن، اللغارتم العقدي لعدد عقدي z هو عدد عقدي w حيث ew = z. يرمز إلى العدد w هذا بالرمز ln z أو log z. بما أن لكل عدد عقدي مختلف عن الصفر عدد لا نهائي من اللغارتمات، فإنه من الواجب الحذر عند كتابة هذه الصيغة من أجل إعطائها معنى واضحا لا لبس فيه. ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.
معضلة كيفية عكس الدالة الأسية العقدية
هناك حلان لهذه المعضلة.
وفي هذا الصدد، لكي تكون دالة ما تقابلاً، ينبغي أن تربط أعدادًا مختلفة عن بعضها البعض بقيم مختلفة عن بعضها البعض. هذا يعني أنه ينبغي أن تكون متباينة. لكن الدالة الأسية العقدية ليست متباينة. سبب ذلك هو أنه مهما كانت قيمة العدد w، إضافة iθ إلى w في الصيغة يكافئ دوران في عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية تساوي θ راديان. لائحة الأعداد غير المنتهية التالية
وفي هذا الصدد، يتمثل الحل الأول في جعل مجموعة انطلاق الدالة الأسية العقدية، تقتصر على مجال ضيق محدد، لا يحتوي على قيمتين مختلفتين تبتعدان عن بعضها البعض بمضاعف للعدد 2πi. هذه التقنية هي التقنية المستعملة من أجل تعريف الدوال المثلثية العكسية الثلاث الأساسية: قوس الجيب وقوس جيب التمام وقوس الظل.
وفي هذا الصدد، تمثل على خط مستقيم نقاطًا متساوية التباعد، الواحدة منهن عن التي تليها. ولكن، الدالة الأسية العقدية تربطهن جميعهن بنفس الصورة. نتيجة لذلك، ليس للدالة الأسية العقدية من دالة عكسية بالمعنى الاعتيادي للكلمة.
ومن ناحية أخرى، يتمثل الحل الثاني في النظر إلى دالة اللغارتم العقدية دالةً مجموعة انطلاقها، ليست جزءًا من المستوى العقدي وإنما سطح لريمان تغطي المستوي العقدي بشكل معين.
تعريف للقيمة الأساسية
- .
- مثلًا، Log(−3i) = ln 3 − πi/2، بينما Log(−3) = ln 3 +πi.
- اللغارتم العقدي للصفر يبقى غير معرف لأنه لا وجود لعدد w حيث ew = 0.
من جهة ثانية، بالنسبة لكل عدد عقدي z = x + yi، اللغارتم العقدي عدد عقدي جزؤه التخيلي ينتمي إلى المجال
ومن جهة أخرى، لهذا السبب، لا يمكن دائما تطبيق دالة اللغارتم العقدي على طرفي متطابقة ما من قبيل ez = ew من أجل استنتاج z = w.
وعلى صعيد آخر، ليس كل الصيغ الصالحة للغارتم الطبيعي مطبقا على الأعداد الحقيقية تبقى صالحة عندما يتعلق الأمر بالأعداد العقدي. الصيغة eLog z = z صحيحة مهما كان z. تعريف اللغاريتم العقدي هو الذي يضمن هذه الخاصية. ولكن، الصيغة Log ez = z ليست صحيحة كلما خرج z عن الشريط S.
- لكن
- انظر كذلك
- لغارتم
- دالة أسية
- عمدة عدد عقدي
- الدوال المثلثية العكسية
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟