مؤثر طاقة

بالنسبة لموجة مستوية ثلاثية الأبعاد

• انظر كذلك
• ثابت بلانك
• معادلة شرودنغر

في هذا الإطار، الاشتقاق متطابق تمامًا، طالما لم يحدث أي تغيير في الحد بما في ذلك الوقت، وبالتالي مشتق الوقت. وبما أن المؤثر خطي، فهي صالحة لأي تركيبة خطية من الموجات المستوية، وهكذا فبإمكانها التأثير على أي دالة موجية دون التأثير على خصائص الدالة الموجية أو المؤثرات. وبالتبعية يجب أن يكون هذا الأمر صحيحًا لأي دالة موجية. وهي تُستعمل في العمل حتى في ميكانيكا الكم النسبية، مثل معادلة كلاين جوردون سالفة الذكر.

الاستنتاج

من جهة ثانية، يتم اشتقاق مؤثر الطاقة بسهولة باستخدام الدالة الموجية للـ جسيمات الحرة (حل الموجة المستوية لمعادلة شرودنغر). ابتداء من بعد واحد تكون الدالة الموجية كالتالي

مشتق الوقت من Ψ هو

• .
• بواسطة علاقة دي برولي:
• ,

معادلة شرودنغر

إضافةً إلى ذلك، حيث E = إجمالي الطاقة، وH = هاملتوني، وT = الطاقة الحركية، وV = طاقة الوضع للجسيم، ثم استبدال الطاقة ومؤثرات هاملتوني، والضرب في الدالة الموجية يحقق معادلة شرودنغر

باستخدام المعادلة الكلاسيكية لـ بقاء الطاقة الخاصة بـ جسيم:

,

وعلى صعيد آخر، المشتق الجزئي عبارة عن تحويل خطي ولذلك تم التعبير بمصطلح المؤثر على الطاقة:

وفي هذا السياق، حيث عامل الطاقة E عبارة عن قيمة كمية قياسية، والطاقة التي يتضمنها الجسيم والقيمة التي يتم قياسها. إلغاء Ψ يؤدي إلى

.

وفي هذا السياق، يمكن أن نخلص من ذلك إلى أن الكمية القياسية E هي القيمة الذاتية للمؤثر، بينما هي المؤثر. بتلخيص ذلك ينتج:

مؤثر كمية الحركة

• هاملتوني (ميكانيكا الكم)
• بقاء الطاقة
• العدد المركب
• الحالة الأرضية

وهذا يعني أن

وعلى صعيد آخر، حيث i هي الوحدة التخيلية، و ħ هي ثابت بلانك المخفض، و هي مؤثر هاملتوني.

الاستخدام

إضافةً إلى ذلك، مؤثر الطاقة يتوافق مع الطاقة الكلية لنظام. تصف معادلة شرودنغر اعتماد الفضاء والزمن على التغير البطيء (غير- النسبي) في الدالة الموجية للأنظمة الكمية. حل هذه المعادلة لنظام مقيَّد يكون منفصلاً (مجموعة من الحالات المسموح بها، المميَّز كلٌ منها بـ مستوى طاقة) مما يؤدي إلى مفهوم الكمّات.

التعريف

علاوةً على ذلك، وهو يعمل على الدالة الموجية (سعة الاحتمال للـتكوينات المختلفة للنظام)

ينتج مؤثر الطاقة من:

نحصل على

إعادة ترتيب المعادلة يؤدي إلى

.

معادلة كلاين-جوردون

علاوةً على ذلك، حيث كذلك E = الطاقة الكلية، و p = كمية الحركة الثلاثية الكلية للجسيم، و m = الكتلة الساكنة، و c = سرعة الضوء، يمكن بالمثل أن تحقق معادلة كلاين-غوردون:

وهذا يعني أن:

علاقة الطاقة-الكتلة النسبية: