مبدأ أرخميدس

إثبات مبدأ أرخميدس

وبالتالي:

وفي هذا الصدد، نفرض أن لدينا سائلا ساكنا في وعاء مفتوح من الأعلى أسطواني الشكل، سوف نرمز لمسافة السائل برمز (h) ومساحة قاعدته (A)، سوف تتأثر هذا الأسطوانة بقوى جانبيه وقوى من أعلى وقوى من أسفل. فأما القوى الجانبية فيلاشي كل منها الآخر ويتبقى لدينا القوى الرأسية التي تؤثر على مساحة قاعدة هذه الاسطوانة. فأما القوى الرأسية التي تؤثر لأسفل فهي وزن السائل، وأما القوى الرأسية التي تؤثر لأعلى فتسمى قوة دفع السائل، وبما أن القوة الرأسية تؤثر على مساحة قاعدة الاسطوانة وهذا يعني الضغط من خلال العلاقة التالية:

الصيغة الرياضية

• حيث: : قوة الطفو: : الكثافة: : عجلة الجاذبية الأرضية: : حجم السائل المُزاح
• وبما أن الكتلة = الكثافة × الحجم:
• نستنتج المعادلة التالية:
• حيث وزن السائل المُزاح = قوة دفع السائل (الطفو).

من جانب آخر، من خلال مبدأ أرخميدس يمكن صياغة معادلة رياضية لحساب قوة دفع السائل (الطفو) التي يمارسها السائل على الجسم المغمور فيه (سواء كلياً أو جزئياً) كالآتي:

نبذة تاريخية

وفي السياق ذاته، انطلق أرخميدس فيما بعد مسرعاً حتى دون أن يرتدي ثيابه، قائلا وجدتها.. وجدتها و انطلق إلى بيته وأخرج التاج ووضعه في الماء بعد أن وزنه قبل ذلك، ووضع في نفس الإناء كتلة من الذهب الخالص لها نفس وزن الجسم الأول ; فلاحظ أرخميدس أن كتلة الماء المزاح في حالة الذهب تختلف عن كتلة الماء المزاح الناتج عن وزن الذهب الخالص وذلك نظرا لاختلاف دفع الماء على كتلة كل من الجسمين.

من جهة ثانية، ولد أرخميدس في مدينة سرقوسة في جزيرة صقلية قرابة عام 287 قبل الميلاد. ودرس العلوم الفيزيائية والرياضيات في مدرسة كان قد أنشأها اقليدس من قبله، وكان له الكثير من الإنجازات والاختراعات التي يذكرها التاريخ منها: قاعدة أرخميدس و التي بني على أساسها نظرية الطفو. وقد ذهب إلى مدينة الاسكندرية مثل باقي الشباب طلباً للعلم ثم إلى اليونان ومات سنة 212 قبل الميلاد وقتل على يد الرومان. كان ملك سرقوسة قد كلف صائغه بأن يصوغ له تاجاً من الذهب الخالص وشرع الصائغ يصنع التاج وانتهى منه وسلمه للملك. شك الملك في أمر الصائغ ظنا منه أنه قد غشه، فأسند إلى أرخميدس أمر الكشف عن صحة التاج. وجد أرخميدس صعوبة في التحقق من الأمر إذ لم يكن من المعروف أيامه أمر التحليل الكيميائي، و لكن كما لعب القدر دوره مع أحد أعظم علماء التاريخ، كان أرخميدس ذات يوم في حوض الاستحمام العام ، وإذ به يلاحظ أن الماء يرفع رجله إلى أعلى كلما دفع رجليه إلى الأسفل وأن هناك قدراً من الماء يُزاح نتيجة لذلك.

حيث

• : كثافة السائل، : عجلة الجاذبية الأرضية، : العمق
• وبما أن:
• إذن:

إذن نستنتج العلاقة التالية:

وهي الصيغة الرياضية لمبدأ أرخميدس.

ومن جهة أخرى، حيث هي قوة دفع السائل (الطفو) ويمكن كتابته .... وباعتبار أن حجم الاسطوانة= مساحة القاعدة × الارتفاع: