مبرهنة غرين

البرهان عندما تكون D منطقة بسيطة

إذا كان ممكن إثبات أن

ومن جهة أخرى، فيما يلي برهان للنظرية في حالة منطقة بسيطة D، وهي منطقة من النوع I (تلفظ واحد) تكون فيها C2 وC4 عبارة عن مستقيمين قائمين. يوجد كذلك برهان مماثل للحالة D منطقة من النوع II (تلفظ اثنان) حيث تكون C1 وC3 خطوط مستقيمة. يمكن استخلاص الحالة العامة من هذه الحالة الخاصة بتقريب المجال D باتحاد مؤلف من مجالات بسيطة.

و

عرف منطة D من النوع I كما هو مبين في الصورة:

ومن جهة أخرى، مع C3، استعمل الدوال الوسيطة: x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b. بالتالي

وفي السياق ذاته، مع C1، استعن بالدوال الوسيطة: x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b. على ذلك

لذلك،

إضافةً إلى ذلك، بدمج (3) مع (4)، نحصل على العلاقة (1). بحسابات مماثلة يمكن الحصول على العلاقة (2).

صائبتان، فإنه يكون قد تم برهنة نظرية غرين في الحالة الأولى.

في هذا الإطار، الآن قم باحتساب التكامل الخطي في العلاقة (1). C يمكن إعادة صياغتها كاتحاد لأربعة منحنيات: C1, C2, C3, C4.

وفي السياق ذاته، التكامل على C3 يصبح سالباً لأنه يخالف الاتجاه الموجب b إلى a، حيث أن C متجهة إيجاباً (عكس عقارب الساعة). على C2 وC4 بينما x تبقى ثابتة ما يعني أن

وفي السياق ذاته، حيث g1 وg2 هما دالتان متصلتان على الفترة [a, b]. احسب التكامل الثنائي في العلاقة (1):