متجه

تمثيل المتجهات

ومن ناحية أخرى، يشار إلى المتجهات عادة بحروف صغيرة ثخينة، مثل a أو مائلة كذلك مثل a (تمثل الحروف الكبيرة عادة المصفوفات). كما يصطلح على كتابتها أو a عند كتابتها باليد. إذا كان المتجه يمثل إزاحة من النقطة A إلى النقطة B كما في الشكل، يرمز عندها له بـ أو AB. يستعمل رمز القبعة (^) للإشارة إلى متجهات الوحدة، كما في .

إضافةً إلى ذلك، قد يكون التمثيل البياني من أجل حساب المتجهات متعبًا ومعقدًا. فالمتجهات في الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد يمكن أن تمثل في نظام الإحداثيات الديكارتية. يمكن تعيين نهاية المتجه بوضعها في قائمة مرتبة من الأعداد الحقيقية.

كذلك، ونحتاج في المخططات ثنائية البعد إلى تدوين المتجه بدوائر صغيرة (كما في الشكل جانبا)، حيث تكون بعض المتجهات عمودية على مستوي المخطط. يرمز للمتجه بنقطة داخل دائرة صغيرة عندما يكون المتجه متجها خارج المخطط باتجاه المشاهد. بينما يرمز له بدائرة مرسوم في داخلها إشارة الضرب عندما يكون المتجه متجها إلى داخل المخطط. ويمكن تذكرها باعتبار النقطة هي منظر لرأس السهم، وإشارة الضرب هي منظر لذيل السهم (الريشة).

ومن جهة أخرى، للقوة متجه طوله يبين مقدارها واتجاه المتجه تمثل إتجاه القوة.

وعلى صعيد آخر، في دروس الفيزياء التمهيدية، تستبدل هذه المتجهات الثلاث بـ (أو )، ولكن تعارض هذه التسمية مع التدوين بالدليل واصطلاح الجمع المستعملين في المستويات المتقدمة في الرياضيات، والفيزياء والهندسة.

وفي السياق ذاته، في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (أو )، تعرف المتجهات بثلاثة أرقام تمثل الإحداثيات الكارتيزية لنقطة النهاية (a,b,c):

كذلك، الطريقة الأخرى لتمثيل المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي باستخدام متجهات الوحدة الأساسية الثلاث:

في هذا الإطار، وفق هذا الاصطلاح، يكتب أي متجه في الفضاء الاتجاهي ثلاثي الأبعاد بالشكل:

إضافةً إلى ذلك، وكمثال في الفضاء ثنائي الأبعاد (الشكل جانبا)، يكتب المتجه من مبدأ الإحداثيات O = (0,0) إلى النقطة A = (2,3) بالشكل

من جانب آخر، تظهر المتجهات في المخططات والرسومات كأسهم (قطع مستقيمة موجهة)، كما هو موضح في الشكل. تسمى هنا النقطة A المبدأ، وتسمى النقطة B الرأس. يتناسب طول السهم مع مقدار المتجه، بينما يشير اتجاه السهم إلى اتجاه المتجه.

من جانب آخر، توضع هذه الأعداد غالبا في مصفوف عمود أو مصفوف سطر، وخصوصًا عندما نتعامل مع المصفوفات، كالتالي:

جمع متجهين بالرسم البياني

إضافةً إلى ذلك، نفترض أن متجهين تؤثر على جسم. يمكننا بواسطة الرسم البياني تعيين المحصلة، كالآتي:

• انظر كذلك
• متوازي أضلاع القوى
• مضلع القوى
• مؤثر
• مؤثر دل
• مؤثر لابلاس

ومن ناحية أخرى، المحور الباديء من نقطة تأثير المتجهين إلى نقطة تقاطع الخطين هي محصلة المتجهين، وتقوم مقامهما.

نرسم من رأس السهم الأول خطا موازيا للسهم الثاني،

من جهة ثانية، ونرسم من رأس السهم الثاني خطا موازياً للسهم الأول. يتقاع الخطان ويكتمل متوازي الأضلاع.

وفي السياق ذاته، نرسم المتجهين كسهمين بمقياس رسم معين، من حيث المقدار والاتجاه،

التاريخ

ومن ناحية أخرى، طور الكثير من العلماء خلال النصف الثاني من القرن التاسع عشر، أنظمة تشبه الأنظمة المستعملة في الوقت الحالي. منهم أوغستين لوي كوشي وهيرمان غراسمان وأوغست فيرديناند موبيوس وأديمار جان كلود بري دو سانت وماثيو أوبرايان.

موتر

دلتا v (علوم الفضاء)

a + a = 2a

وفي حالة تضادهما:

خصائص أساسية

• يستعمل المقطع التالي نظامًا للإحداثيات الديكارتية مع متجهات وحدة أساسية
• ويفترض أن جميع المتجهات تبدأ من مركز الإحداثيات O. وتعني كل من:
• وحدة متجه في اتجاه المحور x
• وحدة المتجه في اتجاه المحور y

تساوي المتجهات

إضافةً إلى ذلك، يقال عن متجهين أنهما متساويان إذا كان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه. وعلى هذا الوجه تكون المتجهات متساوية إذا تساوت إحداثياتها، فالمتجهان:

متساويين إذا وفقط إذا تحقق

و

a - a = 0

• وفي حالة أخرى مع اعتبار مركباتها نفترض أن:
• a=a1e1 + a2e2 + a3e3
• و

وحدة المتجه في اتجاه المحور z

علاوةً على ذلك، وتستعمل الإحداثيات (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) بصفة أساسية مع البلورات، في وصفها وحساباتها.

يكتب المتجه a على الوجه التالي:

من جهة ثانية، (يمكن تخيل المتجه a يبدأ من ركن في بلورة مكعبة أو متوازية الأضلاع وينتهي في ركن آخر. أو أن يبدأ في نظام إحداثي كروي من المركز وينتهي عند تقابله بسطح الكرة).

متجهات وغير المتجهات

قوة

أمثلة لكميات متجهة:

جمع المتجهات وطرحها

في هذا الإطار، عمليا نقوم برسم متجهين للقوتين (أي نختار طول معين لكل منهما) ونمثل اتجاهيهما بسهمين. نرسم متوازيين للسهمين فيكمل تقاطعهما شكل متوازي الأضلاع. نرسم خط يبدأ من زاوية التقاء بداية المتجهين ونوصل رأسه إلى الزاوية المقابلة فيكون بهذا قطر متوازي الأضلاع الذي يمثل محصلة المتجهين.

وفي هذا الصدد، ليكن a وb متجهين في نفس الاتجاه، فيكون مجموعهما بافتراض تساويهما:

محصلة متجهين متساويين ومتضادين تساوي صفرا.

وفي هذا الصدد، معكوس تلك العملية يسمى تحليل القوة إلى مركبتين، حيث نجزئ متجه قوة ما إلى مركبتين عموديتين على بعضهما البعض، ومن خلال تلك العملية يمكن حساب مقدار كل من المركبتين الممثلين للقوة الأصلية ولكن بالنسبة للإحداثيات الديكارتية.

إضافةً إلى ذلك، يمكن تعميم هذه الطريقة للحصول على محصلة عدة قوي، ثلاثة أو أربعة أو أكثر... فيما يسمى مضلع القوى.

وعلى صعيد آخر، يمكن جمع المتجهات بطريقة متوازي أضلاع القوى الذي يتبع أحد قوانين الميكانيكا الذي ينص على أن:«إذا عملت قوتان في نقطة فيمكن أن يعبر عنهما بقوة واحدة.» تسمى تلك القوة «محصلة».

b=b1e1 + b2e2 + b3e3,

ضرب المتجهات في عدد حقيقي

طرح a وb هو:

ومن ناحية أخرى، بوضع بداية المتجه b عند نهاية المتجه a، ثم رسم متجه من بداية المتجه a إلى نهاية المتجه b. يمثل المتجه الجديد المرسوم a + b، كما هو مبين في الشكل 2.

إضافةً إلى ذلك، تسمى طريقة الجمع هذه بقاعدة متوازي الأضلاع، لأن a وb يشكلان أضلاع متوازي الأضلاع.

ومن ناحية أخرى، يمكن تمثيل طرح المتجهات بيانيًا كذلك كما يلي: لطرح b من a، نضع نهاية a وb عند نفس النقطة، ثم يرسم سهم من نهاية b إلى نهاية a. يمثل هذه المتجه الجديد a − b، كما هو موضح في الشكل 3.

• حيثe1،e2، e3 هي متجهات الوحدة متعامدة.
• فيكون مجموع a وb هو:
• ويمكن تمثيل جمع المتجاهات بشكل بياني:

التسارع

• أمثلة لكميات غير متجهة (لا يمكن تمثيلها بمتجه):
• الطاقة
• الزمن
• الكثافة
• اللزوجة
• الحرارة

الازاحة

من جهة ثانية، السرعة يمكن تمثيلها كمتجهة، كمثال 5 متر لكل ثانية، بإتجاه الاعلى تمثل متجة (0,5), حيث يمثل المحور الصادي، الاتجاه إلى الأعلى