متجه رباعي

دورات نقية حول محور تعسفي

وفي السياق ذاته، استدارة الإطارين بزاوية ثابتة θ حول محور يحددها متجه الوحدة:

الخصائص

دون أي يعزز وΛ مصفوفة على مكونات المعادلة:

وفي هذا الصدد، بالنسبة لحالات الدوران حول المحور z فقط، فإن الجزء المشابك لمصفوفة لورنتز يقلل إلى مصفوفة الدوران حول المحور z :

وعلى صعيد آخر، حيث δ ij هي دلتا كرونكر، و ε ijk هي رمز Levi-Civita ثلاثي الأبعاد. يتم تدوير المكونات الشبيهة بالفضاء المتجهي الرباعي، بينما تظل المكونات الشبيهة بالوقت دون تغيير.

الخطية

ومن جهة أخرى، أربعة متجهات لها نفس الخصائص الخطية مثل المتجهات الإقليدية في ثلاثة أبعاد. يمكن إضافتها بالطريقة المعتادة المتبادلة:

الترميز

وفي السياق ذاته، يعمل الترميز في هذا المقال على النحو التالي: تدل الحروف الصغيرة الغامقة على المتجهات ثلاثية الأبعاد، والقبعات على متجهات الوحدات ثلاثية الأبعاد، والحروف الكبيرة للمتجهات رباعية الأبعاد (عدا المنحدر الرباعي)، ترميز مؤشر الموتر.

جبر المتجه الرباعي

المتجهات الثنائية

علاوةً على ذلك، هنا Aνs هي مكونات المتجه المزدوج A* من A على أساس مزدوج وتسمى إحداثيات متغيرة من A، في حين تسمى مكونات Aν الأصلية إحداثيات المخالفة (contravariant).

ومن جهة أخرى، غالبًا ما يتم التعبير عن تطبيق موتر منكوفسكي باعتباره تأثير المتجه الثنائي لأحد المتجهات على الآخر:

المتجهات الرباعية على أساس ذي قيمة حقيقية

وعلى صعيد آخر، المتجه الرباعي هو متجه يتكون من مكون «شبيه بالزمان» وثلاث مكونات «شبيهة بالمكان»، ويمكن كتابته بعدة ترميزات متماثلة.

في هذا الإطار، في النسبية الخاصة، غالبًا ما يكون الأساس الشبيه بالمكان E1, E2, E3، والمكونات A1, A2, A3 أساسًا ديكارتيًا والمكونات:

من جهة ثانية، تدل الرموز الكبيرة على المكونات مخالفة التغير. الاصطلاح المعياري هنا هو أن الرموز اللاتينية تأخذ قيمًا للمكونات المكانية، فيكون  i = 1, 2, 3، بينما تأخذ الرموز اليونانية قيمًا لمكونَي الزمن والمكان، إذ يكون  α = 0, 1, 2, 3، التي تستعمل في الاصطلاح التجميعي. الفصل بين المكون الزمني والمكون المكاني مفيد عند تحديد انقباضات متجه رباعي واحد مع كميات موترة أخرى، مثل حالة حساب ثوابت لورنتز في النتائج الداخلية (أمثلة بالأسفل)، أو رفع وخفض الرموز.

من جانب آخر، ويمكن بالطبع استخدام أي أساس أو مكونات أخرى، مثل الإحداثيات الكروية القطبية

وتجمع مكون السعة ومتجه القاعدة في عنصر واحد.

أو إحداثيات أسطوانية قطبية

علاوةً على ذلك، أو أي إحداثيات متعامدة، أو حتى إحداثيات منحنية. تُكتب تسميات الإحداثيات دائمًا كتسميات لا رموز تأخذ قيمًا عددية. في النسبية العامة، يجب استخدام الإحداثيات المنحنية المحلية في أساس محلي. هندسيًا، يمكن تفسير المتجه الرباعي كسهم، ولكن في الزمكان، ليس فقط المكان. في النسبية، ترسم الأسهم كجزء من رسم منكوفسكي (يطلق عليه كذلك رسم الزمكان).

وهكذا:

يمكن تمثيله كذلك بالمتجهات العمودية:

موتر مينكوفسكي

من جانب آخر، عند تطبيق موترمينكوفسكي ημν على متجهين رباعيين A و B ، وكتابة النتيجة بترميز المنتج في النقاط، لدينا، باستخدام ترميز آينشتاين:

من المناسب إعادة كتابة التعريف في شكل مصفوفة:

تحويل لورنتز

ومن ناحية أخرى، فيه Λ مصفوفة على مكونات Λ μ ν في الصف   μ والعمود   ν ، والمصفوفة العكسية Λ −1 بها مكونات row μ ν في الصف   μ والعمود   ν .

وعلى صعيد آخر، نظرًا لوجود إطارين مرجعيين للقصور الذاتي أو الاستدارة، يتم تعريف المتجه على أنه كمية تتحول بحسب تحويلات لورنتز للمصفوفة Λ :

من جانب آخر، في رمز المؤشر، تتحول المكونات المتعارضة والمتغيرة بحسب ما يلي، على التوالي:

إضافةً إلى ذلك، للحصول على معلومات أساسية حول طبيعة تعريف التحول هذا، راجع الموتر. جميع المتجهات الأربعة تتحول بالطريقة نفسها، ويمكن تعميم ذلك على التنسورات النسبية رباعية الأبعاد؛ انظرالنسبية الخاصة.