متعددة الحدود

تعريف

كثيرة الحدود هي دالة رياضية أو تركيب جبري بسيط وأملس.

وعلى صعيد آخر، قانون التبادلية المطبق على عملية الجمع يمكن من كتابة هذه الحدود الثلاث في أي ترتيب كان.

كذلك، لها ثلاثة حدود: الأول من الدرجة الثانية والثاني من الدرجة الأولى والثالث من الدرجة الصفر.

تكتب متعددة حدود بمتغير واحد كما يلي:

وعلى صعيد آخر، ؛ ومعها يكون الاس لأول الثابت الذي نطرياً يسمح اِختياره بالتعسف في كثيرة الحدود.

متعددة الحدود من الدرجة لها على الأكثر منها أصفار حقيقية

من جانب آخر، كلمة (بسيط) تعني إنه لا يحوي من عمليات سوى الضرب والجمع، وكلمة (أملس) تعني أنه قابل للمفاضلة بلا حدود أي أنه يملك مشتقات من جميع الرتب في جميع النقاط.

مثلًا، الصيغة التالية تبين متعددة حدود.

الدرجة

• انظر كذلك
• لائحة المواضيع المتعلقة بمتعددات الحدود
• متسلسلة قوى
• مجموع

إضافةً إلى ذلك، مثلًا، في متعددة الحدود ، الحد هو حد من الدرجة الأولى في متعددة حدود من الدرجة الثانية.

من جانب آخر، تتمثل الطريقة الثانية لتصنيف متعددات الحدود في النظر إلى درجاتها.

التاريخ

وفي هذا الصدد، إيجاد جذور متعددة ما للحدود، أو ما قد يسمى حلحلة المعادلات الجبرية هو واحد من المعضلات الرياضية الأكثر قدما. ولكن الرموز البسيطة الاستعمال والأنيقة المستعملة في الوقت الحالي لم تتطور إلا في القرن الخامس عشر. قبل ذلك، كانت المعادلات تُكتب بالكلمات.

حلحلة المعادلات الحدودية

• انظر كذلك خوارزمية إيجاد جذور دالة حدودية.
• انظر كذلك خواص جذور متعددة حدود.
• مخططات
• متعددات الحدود والحساب
• الجبر التجريدي
• التصنيف

المعادلات الحدودية

كذلك، عدد جذور معادلة حدودية معاملاتها أعداد حقيقية لا يتجاوز درجة هذه الدالة الحدودية ويساويها إذا أُخذت الحلول العقدية في عين الاعتبار. هذه الحقيقة تسمى المبرهنة الأساسية في الجبر. قد يأخذ جذران من هذه الجذور نفس القيمة. في هذه الحالة، يقال عنها أنها جذر مزدوج. وقد تأخذ ثلاثة جذور نفس القيمة، فيقال عنها أنها جذر ثلاثي، وهكذا.

وفي السياق ذاته، في إطار الجبر الابتدائية، هناك طرق تمكن من حلحلة المعادلات من الدرجتين الأولى والثانية بمتغير واحد، وهناك كذلك طرق تمكن من حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة بمتغير واحد.

إضافةً إلى ذلك، في هذه المعادلة، قد يسمى المتغير مجهولا. أما القيم التي يأخذها المجهول لكي تصير المعادلة صحيحة فتسمى جذور المعادلة أو أصفارها، وواحدها الجذر والصفر. يقال عن عدد أن صفرٌ لمعادلة ما أو جذرها إذا كانت المعادلة صحيحة عندما يأخذ المجهول قيمة هذا العدد.

كذلك، معادلة حدودية وتسمى كذلك معادلة جبرية هي معادلة تأخذ الشكل التالي:

مثلًا،

وفي هذا السياق، بالنسبة إلى معادلة حدودية من الدرجة الخامسة فما فوق، تمنع مبرهنة أبيل-روفيني من إمكانية ايجاد حلحلة عامة بالجذور، ولكن خوارزميات إيجاد جذور دالة تبقى قابلة للاستعمال من أجل ايجاد تقريبات عددية لحلول متعددة حدود أيا كانت درجتها.

هي معادلة حدودية.

الرموز المستعملة

وفي هذا الصدد، أول استعمال لرمز التساوي (=) يعود إلى روبرت غيكوغد في كتاب له. كان ذلك عام 1557.

الرموز والمصطلحات المستعملة

كذلك، تترجم كلمة متعددة الحدود، إلى اللغة الإنجليزية مثلًا، بكلمة Polynomial. وتتكون هذه الكلمة من جزئين هما Poly و nomial. فكلمة Poly أصلها من اللغة الإغريقية وتعني متعدد، وnomial أصلها من اللغة اللاتينية، وأول من أدخل هذا المصطلح المركب إلى اللغة اللاتينية هو فرانسوا فييت.

عدد المتغيرات

في هذا الإطار، من أجل تصنيف متعددات الحدود، يمكن النظر إلى عدد المتغيرات الموجودة في الحدودية. تسمى متعددة الحدود ذات متغير واحد متعددة حدود أحادية المتغير.