متوسط (إحصاء)

متوسط فريتشيت

• ومن المتوسطات الأخرى
• المتوسط الحسابي - الهندسي
• المتوسط الحسابي ، التناسقى
• متوسط سيسرو
• متوسط شيسينى
• المتوسط التناسقى
• المتوسط المتماثل الابتدائى
• المتوسط الهندسى -التناسقى
• متوسط هاينز
• متوسط هيرونيان
• متوسط ايدينتريك
• متوسط أقل المربعات
• متوسط ليمر
• المتوسط الوغاريتمي
• الوسيط
• المتوسط المتحرك
• جذر مربع المتوسط
• متوسط ستلروسكى
• المتوسط الهندسى الوزنى

من جانب آخر، ويوفر متوسط فريتشيت طريقة لتحديد «المركز» لتوزيع كتلى على سطح ما أو، بشكل أعم، مشعب ريمانيان. وعلى عكس الكثير من المتوسطات الأخرى، فان متوسط فريتشيت يتم تعريفه على انة الفراغ الذي لا يمكن بالضرورة لعناصره ان تجمع مع بعضها أو تضرب في اعداد.

المتوسط الحسابي

إضافةً إلى ذلك، مثلًا، المتوسط الحسابي لستة قيم مثل: 34، 27، 45، 55، 22، 34 هو

في هذا الإطار، ومع ذلك، فإن الكثير من التوزيعات المنحرفة يكون أفضل وصف لها هو المتوسط—مثل التوزيع الأسي وتوزيعات بواسون.

في هذا الإطار، قد يتداخل المتوسط في كثير من الأحيان مع الوسيط أو الواسطة أو المدى. والمتوسط هو المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم، أو التوزيع، ولكن لتوزيعات منحرفة، المتوسط ليس بالضرورة هو نفس القيمة المتوسطة (وسيط)، أو على الأرجح (واسطة). مثلًا، ينحرف متوسط الدخل للأعلى بعدد قليل من الأشخاص ذوى الدخول المرتفعة، بحيث أن الغالبية لديها دخل أقل من المتوسط. على النقيض من ذلك، فإن الوسيط للدخل هو المستوى حيث نصف الناس أعلى والنصف الآخر اسفل. اما الواسطة للدخل يشبة كثيرا الدخل، ويضم العدد الأكبر من الناس من ذوي الدخل المنخفض. والوسيط أو الواسطة في كثير من الأحيان تكون قياسات أكثر سهولة لمثل هذه البيانات.

علاوةً على ذلك، المتوسط الحسابي هو المتوسط المعيارى، وغالبا ما يدعى ببساطة المتوسط.

المتوسط الوزنى

وفي هذا السياق، التجانس: M (λ x 1 ... λ xn) == λ M(x 1 ... xn) لجميع λ و Xi . ملاحظة: M (λ x) == λ ' لجميع n من المتجهات.

الرتابة: إذا Xi ≤ Yi لكل i ، إذاMx ≤ My

• والمتوسط الوزنى هو الدالة التي تؤدى بسلسة الأرقام الموجبة إلى رقم موجب
• ولذلك نذكر الخصائص التالية:
• "النقطة الثابتة" : M (1,1... 1) = 1

متوسطات لمتتابعات من احجام مختلفة

وعلى صعيد آخر، إذا يمكن توقع ان المتوسط للمتتابعة يحدد من خلال متوسطات الاقسام.

إذاكانت معرفة لمتتابعات من احجام متعدده،

المتوسط الحسابى المجمع

من جهة ثانية، والتجميعات تمثل حدود عينة جزئية. وفي تطبيقات أخرى تمثل القياسات بمدى موثوقيتها وتأثيرها على المتوسط بقيم خاصة.

من جانب آخر، والمتوسط الحسابى المجمع يتم استخدامه، إذا كان أحد يريد أن يجمع متوسط القيم لعينات من نفس التوزيع مع عينات مختلفة الأحجام:

التوزيع ومتوسطات العينة

• انظر كذلك
• المتوسط، نفس الميل للمركز
• الوسيط

ومن ناحية أخرى، في كثير من الأحيان، لأن التباين للتوزيع يكون غير معروف، فانة يحدد من خلال مجموع متوسط المربعات، والذي يغير توزيع متوسط العينة من التوزيع العادي إلى توزيع الطالب t مع n—1 من درجات الحرية.

وفي هذا السياق، المتوسط لتوزيع ما له قيمة متوقعة μ ، والمعروفة باسم متوسط التوزيع. ومتوسط العينة يؤدى إلى تقدير جيد لمتوسط التوزيع، لانة قيمته متوقعة كما هو الحال في متوسط التوزيع (الإسكان). ومتوسط العينة لتوزيع هو متغير عشوائي، وليس ثابتا، وبالتالي فسيكون له توزيعه الخاص. لعينة عشوائية لعدد من الملاحظات n من التوزيع الطبيعى العادى، يكون متوسط توزيع العينة هو

وهذا يتبع

وفي السياق ذاته، إذاكانت دالة تعرف كالاتى f(x)=y ، فان المتوسط المعمم للدالة f يلبى خاصية النقطة الثابتة.

في هذا الإطار، وهناك متوسطات غير قابلة للتفاضل0 مثلًا، العدد الأكبر لتتابع محدد يعد متوسطا (لانه يماثل حالة قوية لأس المتوسط أو يماثل حالة خاصة للوسيط), ولكن غير قابل للتفاضل.

إذا C ، M 1 ... M m هي متوسطات وزنية و p هو رقم حقيقي موجب،

عدم الحصر: اقل x ≤ Mx ≤ x القصوى '

الاستمرارية:

ومن جهة أخرى، جميع الوسائل المذكورة أعلاه، باستثناء أغلب الدوال f المعممةتلبى الخصائص التالية.

• إذاكانت دالة مرتبة تماما، يكوم المتوسط المعمم للدالة f يلبي خاصية الرتابة.
• وبصفة عامة المتوسط المعمم للدالة f ، سيفقد خاصية التجانس.
• الخصائص المذكورة أعلاه تعني تقنيات لبناء متوسطات أكثر تعقيدا:

المتوسط الربيعى

في هذا الإطار، بافتراض أن القيم قد رتبت، لذلك هو ببساطة مثال محدد للمتوسط الوزنى لمجموعة محددة من الأوزان.

من جانب آخر، والمتويط الربيعى هو مثال محدد للمتوسك المقتطع. هو ببساطة المتوسط الحسابي بعد إزالة ربع القيم الدنيا العليا.

المتوسط الهندسي

وعلى صعيد آخر، المتوسط الهندسي هو متوسط مفيد لمجموعات من الأعداد الموجبة التي يتم تفسيرها بحسب حاصل الضرب، وليس الجمع (كما هو الحال مع المتوسط الحسابي) مثل معدلات النمو.

ومن جهة أخرى، مثلًا، فإن المتوسط الهندسي للستة قيم الاتية: 34، 27، 45، 55، 22، 34 هو:

المتوسط المقتطع

وفي السياق ذاته، في بعض الأحيان ربما تحتوى مجموعة من الأرقام على قيم متطرفة، أي مسند والذي هو أقل بكثير أو أعلى بكثير من الآخرين.

ومن ناحية أخرى، و في كثير من الأحيان، تكون هذه القيك المتطرفة ناجمة عن الخطاء في اخذ البيانات. وفي هذه الحالة يمكن استخدامالمتوسط المقتطع. أنه ينطوي على تجاهل أجزاء من البيانات المعطاة والتي تتطرف بعيدا عن الاخرين، وعادة ما تكون نسب مئوية متساوية تقتطع عند كل نهاية، ومن ثم يأخذ المتوسط الحسابي للبيانات المتبقية. وعدد القيم المزالة من كل طرف يظهر كنسبة مئوية من مجموع عدد القيم.

متوسط دالة

وعلى صعيد آخر، و هذا يعمم المتوسط الحسابي. ومن ناحية أخرى، فإنه من الممكن كذلك تعميم المتوسط الهندسي إلى دوال من خلال تحديد المتوسط الهندسي للدالةf لتكون

من جانب آخر، في حساب التفاضل والتكامل، وخصوصا حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، يعرف متوسط الدالة ببساطة على انه قيمة متوسط الدالة على مجالها. وفي حالة متغير واحد، يكون متوسط الدالةf(x) خلال الفترة (a ، b) يعرف كالاتى

في هذا الإطار، (انظر كذلك نظرية قيمة المتوسط.) في حالة الكثير من المتغيرات، المتوسط لمجالمحكمنسبيا U في الفضاء الإقليدي يعرف كالاتى

من جانب آخر، وهناك كذلك متوسط متناسق للدوال ومتوسط من الدرجة الثانية (أو جذر مربع المتوسط) للدوال. وفي الواقع، كل واحدة من حسابات التفاضل والتكامل الغير نيوتونية العديدة واللا نهائية لديها متوسط «طبيعي» للدوالها.

وفي السياق ذاته، و بصورة أعم، في نظرية القياس ونظرية الاحتمالات أي من الترتيب للمتوسطات يلعب دورا هاما. وفي هذا السياق، تحتل متباينة جنسن مكانة كبيرة في العلاقة بين بين هذين المفهومين المختلفين لمتوسط الدالة.

المتوسطات الغير وزنية

إضافةً إلى ذلك، ويقال بشكل بديهى، ان المتوسط الغير وزنى هوالمتوسط الوزنى ولكن بأوزان متساوية.

منذ تعريفنا للمتوسط الوزنى أعلاه لا تعرض أوزان خاصة،

من جانب آخر، وهناك جهة نظر مختلفة بشأن الأوزان المتجانسة هي، أن المدخلات يمكن ان تتبادل دون تغيير في النتيجة.

p هو رقم حقيقي موجب،

والاوزان المتساوية يجب أن يتأكد منها بطرق مختلفة.

بالتشابه مع المتوسطات الوزنية،

• ومن ثم نعرف M على أنها متوسط غير وزنى إذا كانت متوسط وزنى
• ولكل π تبديل للمدخلات، تكون النتيجة هي نفسها.
• التماثل: Mx = M (π x) لجميع n من التتابعات π π والتبديلات على n من التتابعات.

إذا كانت C هي متوسطه وزنى، وM 1 ... Mm هي متوسطات غير وزنية

الخصائص

وفي هذا السياق، جميع المتوسطات لها بعض الخصائص المشتركة فضلًا عن بعض الخصائص التي تشترك بين المتوسطات الأكثر شيوعا.

بعض من هذه الخصائص جمعت هنا.

المتوسط التوافقي

علاوةً على ذلك، المساواة ليست ممكنة إلا عندما تكون جميع عناصر العينة المعطاة متساوون.

المتوسطات المعممة

وفي هذا الصدد، مثلًا، المتوسط المتناسق للقيم الستة: 34، 27، 45، 55، 22، و 34 هو

إضافةً إلى ذلك، المتوسط التوافقي هو المتوسط المناسب لمجموعات من الأرقام التي تم تعريفها في علاقة لها بعض وحدات القياس، مثلًا السرعة (مسافة لكل وحدة من الوقت).

العلاقة بين المتوسط الحسابى والهندسى والمتناسق.

من جهة ثانية، و العلاقة بين المتوسط الحسابى (AM)والمتوسط الهندسي (GM) والمتوسط المتناسق (HM) يمكن تعميمها على النحو التالي:

المتوسط الأسى

من جهة ثانية، والمتوسطات المعممة، والمعروف كذلك بالمتوسط الاسى أو متوسط هولدر، هي تلخيص للمتوسطات الحسابية والهندسية والتوافقية والمتوسط من الدرجة الثانية. وهو ما يتم تعريفه لمجموعة من الأرقام االموجبة سi وعددها ن بالاتى

عن طريق اختيار القيمة المناسبة للمتغير m نحصل على

متوسط الدالة f

بصفة أدق

ومن ناحية أخرى، باعطائك متتابعة معينة ، والمقسمة إلى y_k ، إذا فإنها (انظر Convex hull))

المتوسط التناسقى الوزنى

مقياس رينيى (أ المعمم ، لمتوسط الدالة f)

إذا A و B يعرفان كالاتى

كذلك، وهذا لالتصال يمكن ان يستعمل كذلك للقول بأن المتوسط هو صيغة وزنية للمتوسط الغير وزنى.

وفي هذا الصدد، اوزن الأرقام بالأعداد الطبيعية (إذا كانت الأرقام منطقية، إذا قم بضربهم في اصغر مقام مشترك.)

• هي كذلك متوسطات غير وزنية.
• تحويل المتوسط الغير وزنى إلى متوسط وزنى.
• يمكن للمتوسط الغير وزنى ان يتحول إلى متوسط وزنى بتكرار العناصر.

بافتراض ان لديك متوسط غير وزنى M , و

إذا المتوسط الوزنى الناتج يمكن الحصول عليه من خلال

هذه يمكن تعميمها إضافة لتعميممتوسط الدالة f

إضافةً إلى ذلك، ومرة أخرى الخيارالمناسب للدالة f القابلة للعكس سيعطي ( – – – المتوسط الحسابي،

إذا A و B يعرفان كالاتى

هي كذلك متوسطات وزنية.

متوسط الزوايا

إضافةً إلى ذلك، أغلب الوسائل المعتادة تفشل في الكميات الدائرية، مثل الزاويا، والاقطار والجزء الكسري للعدد الحقيقي. فلهذه الكميات نحتاج إلى متوسط للكميات الدائرية.