مثلث بيل

قيم

علاوةً على ذلك، تعطي مصادر مختلفة نفس المثلث في اتجاهات مختلفة، بعضها مقلوب عن الآخر. في تنسيق مماثل لمثلث باسكال، وبالترتيب المدرج في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة (OEIS)، فإن الصفوف القليلة الأولى هي: 1

• 1 2
• 2 3 5
• 5 7 10 15
• 15 20 27 37 52
• 52 67 87 114 151 203
• 203 255 322 409 523 674 877

بناء

من جهة ثانية، وهكذا، بعد وضع الرقم 1 في الصف العلوي في البداية، يصبح هو الموضع الأخير في صفه، ويتم نسخه إلى الموضع الأقصى إلى اليسار في الصف التالي. القيمة الثالثة في المثلث، 2، هي مجموع القيمتين السابقتين أعلاها على يسارها. وبما أن القيمة الأخيرة في صفها، يتم نسخ الرقم 2 إلى الصف الثالث، وتستمر العملية بنفس الطريقة.

إضافةً إلى ذلك، يمكن إنشاء مثلث الجرس عن طريق وضع الرقم 1 في موضعه الأول. بعد هذا التنسيب، يتم ملء القيمة الموجودة في أقصى اليسار في كل صف من المثلث عن طريق نسخ القيمة الموجودة في أقصى اليمين في الصف السابق. يتم ملء المواضع المتبقية في كل صف بقاعدة مشابهة جدًا لتلك الخاصة بمثلث باسكال فهي مجموع القيمتين إلى اليسار واليسار العلوي للموضع.

الإنشاءات ذات الصلة

من جهة ثانية، وقد وصف أجنر مثلثًا مختلفًا من الأرقام، حيث تكون أرقام بيل على جانب واحد فقط، ويتم تحديد كل رقم كمجموع مرجح للأرقام القريبة في الصف السابق.

ملحوظات

التفسير التركيبي

وعلى صعيد آخر، أرقام بيل نفسها، على الجانبين الأيسر والأيمن من المثلث، تحسب عدد طرق تقسيم مجموعة منتهية إلى مجموعات فرعية، أو على نحو مكافئ عدد علاقات التكافؤ في المجموعة. يقدم صن ووو التفسير التركيبي التالي لكل قيمة في المثلث. باتباع صن ووو، دع A n,k يشير إلى القيمة التي تقع على بعد k مواضع من اليسار في الصف n من المثلث، مع ترقيم الجزء العلوي من المثلث كـ A 1,1 . ثم يقوم A n,k بحساب عدد أقسام المجموعة {1، 2, ...,  n + 1} حيث العنصر k + 1 هو العنصر الوحيد في مجموعته وكل عنصر ذو رقم أعلى يوجد في مجموعة مكونة من أكثر من عنصر واحد. وهذا يعني k + 1 يجب أن يكون أكبر عنصر فردي في القسم.

{1}، {2، 4}، {3}

إضافةً إلى ذلك، مثلًا، سيتم تسمية الرقم 3 في منتصف الصف الثالث من المثلث، في تدوينهم، بـ A 3,2 ، ويحسب عدد أقسام {1، 2, 3, 4} حيث 3 هو أكبر عنصر مفرد. هناك ثلاثة أقسام من هذا القبيل:

الأقطار ومجموع الصفوف

في هذا الإطار، مجموع كل صف من المثلث، 1، 3، 10، 37، ... ، هي نفس تسلسل الفروق الأولى التي تظهر في القطر الثاني من اليمين للمثلث. يقوم الرقم n في هذا التسلسل كذلك بحساب عدد أقسام العناصر n إلى مجموعات فرعية، حيث يتم تمييز إحدى المجموعات الفرعية عن المجموعات الأخرى؛ مثلًا، هناك 10 طرق لتقسيم ثلاثة عناصر إلى مجموعات فرعية ثم اختيار إحدى المجموعات الفرعية.

في هذا الإطار، بهذه الطريقة، كما لاحظ أيتكين، يمكن تفسير هذا المثلث على أنه تطبيق لصيغة الاستيفاء جريجوري-نيوتن، والتي تجد معاملات كثير الحدود من تسلسل قيمه عند الأعداد الصحيحة المتتالية باستخدام الفروق المتتالية. تشبه هذه الصيغة بشكل وثيق علاقة التكرار التي يمكن استخدامها لتحديد أرقام بيل.

ومن ناحية أخرى، يحتوي كل من القطرين الأيسر والأيمن من مثلث الجرس على التسلسل 1، 1، 2، 5، 15، 52، ... من أرقام بيل (مع العنصر الأولي المفقود في حالة القطر الأيمن). يعطي القطر الموازي التالي للقطر الأيمن تسلسل الفروق بين رقمي بيل متتاليين، 1، 3، 10، 37، ... ، وكل قطري متوازي لاحق يعطي تسلسل الاختلافات بين الأقطار السابقة.

41 52 67 87 114 151 203

من جهة ثانية، يقدم كوانتانس وكوونغ تفسيرًا بديلًا ولكن أكثر تقنية للأرقام في نفس المثلث الموسع.

من جهة ثانية، 162 203 255 322 409 523 674 877يمكن إنشاء هذا المثلث بشكل مشابه للنسخة الأصلية من مثلث بيل، ولكن بقاعدة مختلفة لبدء كل صف: القيمة الموجودة في أقصى اليسار في كل صف هي الفرق بين القيم الموجودة في أقصى اليمين وأقصى اليسار في الصف السابق.

{1، 4}، {2}، {3}

وفي هذا الصدد، أما الأقسام المتبقية من هذه العناصر الأربعة فلا تحتوي على 3 في مجموعة بمفردها، أو تحتوي على مجموعة مفردة أكبر {4}، وفي كلتا الحالتين لا يتم احتسابها في A 3,2 .

ومن جهة أخرى، عد أقسام نفس المجموعة من n + 1 عناصر حيث يكون العنصر الأول فقط هو العنصر المفرد. مثلثهم الموسع هو 1

{1، 2، 4}، {3}.

An,0 = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ...

وفي هذا السياق، في نفس التدوين، قام صن ووو بزيادة المثلث بقطر آخر إلى يسار قيمه الأخرى، من الأرقام

• 0 1
• 1 1 2
• 1 2 3 5
• 4 5 7 10 15
• 11 15 20 27 37 52