مثلث دائري

خواص الزوايا

وفي هذا السياق، المُثلَّثات الدائرية التي تتساوى مقاسات الزوايا الداخلية فيما بينها متكافئة بالنسبة لتحويلات موبيوس.

في هذا الإطار، تكون الزاوايا و و المُعرَّفة ضمن المجال زوايا داخلية لمثلث دائري غير متقاطع ذاتيًا، إذا وفقط إذا، استوفت قيمها جملة المتباينات التالية:

أمثلة

كذلك، المثلث الدائري القرني مُثلَّث دائري مجموع زواياه مساوٍ للصفر، يُمكِن إنشاء مُثلَّث دائري قرني برسم ثلاث دوائر متماسة خارجًا مثنى مثنى، ويكون المثلث عندها محصورًا بين الدوائر الثلاثة التي يُشكل قوس كل منها، بين نقطتي التماس، ضلعًا فيه. سكين الحَذَّاء مُثلَّثٌ دائري قرني، تتسامت رؤوسه، أي تقع على مستقيم واحد، وأضلاعه . تقع سكين الحذاء داخل إحدى الدوائر الثلاثة التي تشكلها وتمسُّ الدائرتين الأخريين.

كذلك، يُنتِج تقاطع ثلاث أقراص دائرية مُثلَّثًا دائريًا مُحدَّبًا. مثلث رولو مثالٌ على هذا النوع من المُثلَّثات، وهو حالة خاصة منها ينتج عندما تتساوى أقطار الدوائر الثلاثة وتساوي طول ضلعٍ فيمُثلَّث متساوي الأضلاع بالإضافة لكون مراكز الدوائر واقعة على رؤوس المثلث متساوي الأضلاع السابق. لا يُشترط في المثلث الدائري أن يكون ناتجًا عن تقاطع 3 دوائر.

متباينة المحيطات المتساوية

كذلك، تُقدِّم المُثلَّثات الدائرية حلًا لمسألة المحيط الثابت التي يُبحث فيها عن منحنى بأقل طول ممكن يحيط بثلاث نقاط معلومة ويحصر مساحة معروفة مسبقًا. عندما تكون المساحة مساوية لمساحة الدائرة المحيطة بتلك النقاط على الأقل، يكون حل المسالة أيُّ دائرة لها تلك المساحة تحيط بالنقاط. أمَّا بالنسبة للمساحات الأصغر، فيكون المنحنى الأمثل مُثلَّث دائري رؤوسه هي النقاط الثلاث، وأضلاعه أقواس دائرية ذات أنصاف أقطار متساوية، ويصح هذا الحل مع استمرار صِغَر مقاسات الزوايا (وصغر المساحة بالتبعية)، حتى تصل إحداها إلى الصفر. وعند مساحات أقل من ذلك، يَتردَّى المنحني إلى زُبانيات (مفردها زُبانى) كل منها قطعة مستقيمة تمتد من رؤوس المثلث لتصل إلى واحدة أو أكثر من النقاط المحددة. وفي الحالة الحدية التي تقترب فيها المساحة من الصفر، ينكمش المثلث الدائري إلى نقطة فيرما الخاصة بالنقاط الثلاث المدروسة.

• انظر كذلك
• ثلاثية الوريقات
• المثلث الزائدي