مثلث مثالي

المسافات في المثلث المثالي

كذلك، المسافة من أي نقطة داخل المثلث إلى أقرب ضلع له هي أقل من أو تساوي نصف القطر r أعلاه، وتتحقق المساواة فقط عند مركز الدائرة المحاطة.

علاوةً على ذلك، تمس الدائرة المحاطة أضلاع المثلث في ثلاث نقاط تماس، وتُشكل مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه حيث هي النسبة الذهبية.

تُعد a كذلك ارتفاع المثلث الزائدي متساوي الأضلاع المذكور.

كذلك، أي دائرة بنصف قطر d حوّل نقطة داخل المثلث ستقاطع أو تتقاطع مع ضلعين على الأقل من أضلاع المثلث.

علاوةً على ذلك، المسافة من أي نقطة على أحد أضلاع المثلث إلى ضلع آخر هي أقل من أو تساوي ، وتتحقق المساواة فقط عند نقاط التماس المذكورة أعلاه.

الدائرة المحاطة (الداخلية) لمثلث مثالي لها نصف قطر:

.

زمرة المثلث المثالي الحقيقي

ومن ناحية أخرى، زمرة المثلث المثالي الحقيقي هي زمرة انعكاس تُولد بواسطة انعكاسات المستوي الزائدي عبر أضلاع مثلث مثالي. وتكون هذه الزمرة من الناحية الجبرية جداءً حراً لثلاث زمر من الرتبة الثانية (Schwartz 2001).

مراجع

النماذج

في هذا الإطار، في نموذج قرص بوانكاريه للمستوي الزائدي، يُحاط المثلث المثالي بثلاث دوائر تتقاطع مع دائرة الحدود بزوايا قائمة.

في هذا الإطار، في نموذج نصف المستوي لبوانكاريه، يُنمذج المثلث المثالي بواسطة الشكل السكيني (Arbelos)، وهو الشكل المحصور بين ثلاث أنصاف دوائر متماسة متتالية.

علاوةً على ذلك، في نموذج بيلترامي-كلاين للمستوي الزائدي، يُنمذج المثلث المثالي بمثلث إقليدي محاط بدائرة الحدود. يُلاحظ أنه في نموذج بيلترامي-كلاين، لا تكون الزوايا عند رؤوس المثلث المثالي صفرًا، لأن هذا النموذج — على عكس نموذجي قرص ونصف مستوي بوانكاريه — ليس تطبيقًا ممتثلاً (أي لا يحفظ الزوايا).

الخصائص

مساحة أي مثلث مثالي تساوي \pi.

• تمتلك المثلثات المثالية الخصائص التالية:
• جميع المثلثات المثالية متطابقة فيما بينها.
• الزوايا الداخلية للمثلث المثالي جميعها تساوي الصفر.
• محيط المثلث المثالي لا نهائي.
• المثلث المثالي هو أكبر مثلث ممكن في الهندسة الزائدية.

كذلك، في المستوي الزائدي القياسي (سطح يكون فيه انحناء غاوس الثابت مساوياً -1) نجد كذلك الخصائص التالية:

شرط المثلث النحيف

ومن ناحية أخرى، نظرًا لأن المثلث المثالي هو أكبر مثلث ممكن في الهندسة الزائدية، فإن المقاييس المذكورة أعلاه هي الحدود القصوى الممكنة لأي مثلث زائدي. تُعد هذه الحقيقة مهمة في دراسة فضاءات \دلتاالزائدية.