مثمان

يعطى نظير المثمان التالية

وفي هذا الصدد، إن وجود طويلة للمثمان يتطلب وجود مقلوب لكل مثمانغير صفري. حيث يعطى مقلوب x ≠ 0 بالعلاقة:

• بالعلاقة:
• يعرف الجزء الحقيقي للمثمان x بالعلاقة:
• ½x + x*) = x0)
• كما يعرف الجزء التخيلي بالعلاقة:
• ½(x - x*)
• تعطى طويلة المثمان x بالعلاقة:
• يعطى الجذر التربيعي هنا بالعلاقة: وهو دائماً عدد حقيقي غير سالب:
• وهذه الطويلة تتوافق مع الطويلة في الفضاء الإقليدي من البعد الثامن R8.

وهي تحقق

.

التعريف

ذات مكافئ حقيقي xa.

في هذا الإطار، عملية جمع المثمان تتم بجمع المكافئات المتوافقة، تماماً مثل الأعداد العقدية ومَرََابيع. عملية الضرب في المثمان محددة بشكل كامل بجدول الضرب التالي:

في هذا الإطار، من الممكن اعتبار المثمان على أنها مجموعات ثمانية (مثل الألحان الثمانية المعد لثماني آلات موسيقية أو مغنينن) من الأعداد الحقيقية. كل مثمان هو اندماج خطي حقيقي لوحدات الزمرة الثمانية البسيطة {1, i, j, k, l, il, jl, kl}، وعليه فإن أي مثمان x يكون ممكن الكتابة على الشكل التالي:

التاريخ

ومن ناحية أخرى، اكتشف المثمانَ العالمُ جون ت. غرافس، صديق ويليام هاملتون مكتشف المرباع، عام 1843.

إنشاء كايلي-ديكسون

علاوةً على ذلك، هناك طريقة أكثر منطقية في تعريف المثمان باستخدام إنشاء كايلي-ديكسون. حيث كما أنه من الممكن تعريف المرباع على أنه زوج من الأعداد العقدية، يمكن تعريف المثمان على أنه زوج من المرباع. حيث يعطى جداء زوجين من المرباع (a, b) و(c, d) على النحو التالي:

حيث هو نظير المرباع z.

النظير، الطويلة، المقلوب