مجسم أرخميدي

المُجسَّمات

ومن جهة أخرى، يبدأ إنشاء بعض المُجسَّمات الأرخميدية من المجسمات الأفلاطونية اعتمادًا على العمليات التالية:

وفي هذا الصدد، البتر: وتشمل قطع الرؤوس، ويلزم للحفاظ على التناظر، أن يكون القطع بمستوٍ معامد للخط الواصل بين زاوية الرأس ومركز متعدد الوجوه. ومثال ذلك عشروني الوجوه المبتور، يُنشأ ببتر كل رؤوس عشروني وجوه بترًا متناظرًا.

إضافةً إلى ذلك، النشر: وهو عملية تظل فيها مقاسات الوجوه ثابتة، لكنها تُبعَد عن المركز إبعادًا متزامنًا يضمن الحفاظ على التناظر والتحدُّب، ما يخلق مسافات فاصلة بينها، ثُمَّ تُضاف أوجه جديدة للوصل بين الأوجه السابقة ولملء المسافة الناتجة عن الإبعاد. ومثال ذلك نشر المُكعب الذي ينتج ذو الوجوه المكعبي الثماني المعيني.

كذلك، ولكن لا تُنشَأ كل المُجسمات الأرخميدية بالعمليات السابقة، مثلًا يُنشأ ذو الوجوه الاثنا عشري العشروني بلصق طارمتين مُخمَّستين القاعدة إلى القاعدة تخالفًا، أي يُقابِل مُخمَّسات الطارمة الأولى مثلثات الطارمة الثانية. كما يُنشأ ذو الوجوه المكعبي الثماني المعيني بلصق قُبَّتين مُربَّعتين إلى قاعدة .

إضافةً إلى ذلك، يمكن رسم المجسمات الأرخميدية ببيان يُسمَّى . هذه البيانات و (وهذا يجعلها بالضرورة مستوية ) وهاملتونية.

من جانب آخر، : وهي عملية إنشاء متعدد وجوه تبدأ بإبعاد وجه المتعدد الأصل عن مركزه، ثم برمها بزوايا محددة وملء المسافات الناتجة عن العملية بمثلثات متساوية الأضلاع. من آثار تطبيق هذه العملية اللاانطباقية، ومعناها أن المجسمات الناتجة تكون لا تتطاق مع انعكاسها على المرآة. ومثال ذلك المُكعَّب الأفطس و.

تسمى ثنويات المُجسَّمات الأرخميدية بمُجسَّمات كاتالان.

وعلى صعيد آخر، عشرة مجسمَّات أرخميدية على الأقل على تتمتع بخاصية روبرت: كل منها يمكن أن يمر عبر نسخة من نفسه لها المقاسات نفسها. هذه المُجسَّمات هي: ذو الوجوه المُكعبي الثُماني وثماني الوجوه المبتور والمُكعَّب المبتور وذو الوجوه المكعبي الثماني المعيني وذو الوجوه الاثنا عشري العشروني و وعشروني الوجوه المبتور و ورباعي الوجوه المبتور.

وفي هذا السياق، للمُجسَّمات الأرخميدية تشكيلة رأس واحدة وخواص تناظرية عالية. تُحدِّد تشكيلة الرأس أي المضلعات المنتظمة تلتقي عند كل رأس. فمثلًا تحدد التشكيلة متعدد وجوه تلتقي تناوبًا في كل رأس من رؤوسه مثلثان ومُخمَّسان. أما خواص التناظرية العالية فتعني أن زمرة التناظر، التي يكتسبها كل مجسم عند إنشائه، مُشتقَّة من المجسمات الأفلاطونية. تذكر بعض المراجع أن مصطلح المجسم الأرخميدي مرادف لمصطلح . ولكن هذه العائلة من متعددات الوجوه تشمُل المواشير المنتهية (أي ذات عدد الوجوه المحدود) والمواشير التخالفية المنتهية، بما فيها الذي لا يُعد مجسمًا أرخميديًا لأنه ليس انتقالي الرؤوس.

من جهة ثانية، التقويم: وهو حالة خاصة من البتر، يحصل عندما يكون البتر المتناظر عميقًا ودقيقًا لدرجة أن الوجهين المتقابلين الناتجين عنه يشتركان في نقطة واحدة فقط، فعندها يُسمَّى البتر .

نبذة تاريخية

علاوةً على ذلك، ليوناردو دا فينشي. ظهرت شبكات المُجسَّمات الأرخميدية في عمل آلبرخت دورر المُعنوَن: تعليمات القياس الذي احتوى نسخًا من عمل بتشولي. أعاد

كذلك، ربما ظنَّ كبلر أن ، والتي تسمَّى كذلك ذو وجوه مكعبي ثماني معيني زائف هي مجسَّم أرخميدي، لأنه ذكر في إحدى المرات وجود 14 مجسَّمًا أرخميديًا، ولكنه ذكر 13 فقط عندما عددها في كتابه. ولكن أول ذكر صريح لثنائي القبة بهذا السياق يرجع لسنة 1905م في أعمال دنكان سومرفيل. يحصل هذا الخلط بسبب خطأ في إنشاء ذو الوجوه، الذي يُنشَأ بلصق قبتين مخمستين على قاعدتي موشورٍ مُثمَّن مع برم إحداهما بزاوية 45 درجة. المُجسَّمات الأرخميدية انتقالية الرؤوس، أي يمكن تبديل موقع أي رأسين من دون أي يغير ذلك من تناظر المُجسَّم، وثنائي القبة المربعة المبروم المطال ليس كذلك.

وعلى صعيد آخر، منظور الأجسام المنتظمة لمؤلفه و والنسبة الذهبية لمؤلفهما لوكا بتشولي وقد أنجز الرسوم فيهما

• انظر كذلك
• تدوين كونواي لمتعددات الوجوه
• مجسم كاتالان
• ملاحظات
• المراجع
• فهرس الإحالات
• معلومات المراجع
• مقالات مُحكَّمة
• كتب

إضافةً إلى ذلك، يوهانس كبلر، قرابة 1620م، اكتشاف متعددات الوجوه الثلاثة عشرة، كما عرَّف الموشور والموشور تخالفي والمجسَّمات غير المُحدَّبة التي أصبحت تُعرَف باسم متعددات وجوه كبلر وبوانسو في كتابه تناغم العالم.

إضافةً إلى ذلك، كان للأشكال عالية التناظر قيمة عالية في نظر الفنانين والرياضياتين في عصر النهضة. وقد ظهرت بعض المُجسَّمات الأرخميدية في عمل بييرو ديلا فرانشيسكا المُعنوَن: عن الهيئات الخمس المنتظمة ، وهي دراسة فيها اقتباسات عديدة لأرخميدس. ولكن بييرو لم ينسب هذه المُجسَّمات لأرخميدس رغم أنه كان على دراية بعمله، ويبدو أنه أعاد اكتشاف هذه المُجسَّمات بنفسه. تظهر المُجسَّمات كذلك في أعمال أخرى مثل

كذلك، لحظ برانكو غرُنابوم أن ثنائي القبة المربعة المبروم يستوفي تعريفًا غير مُحكَمٍ للمُجسَّمات الأرخميدية، يُجعل رؤوسها متطابقة، بمعنى أن أجزاء متعدد الوجوه الواقعة بالقرب من الرأس تبدو متطابقة: شكل الوجوه وترتيبها والزوايا التي تشكلها. وأشار غرنابوم إلا أن الرياضيين الذي يعتمدون تعريفًا مشابهًا للمجسَّمات الأرخميدية يقعون في خطأ المُجسَّم الرابع عشر. ويكون التصويب باعتماد تعريفٍ يشمُل الخواص التناظرية العامة لمتعدد الوجوه ولا يقتصر على خواص الرأس وما حوله. ولا يُصنَّف ثنائي القبة المُربَّعة المبروم المُطال ضمن المُجسَّمات الأرخميدية نتيجة لذلك، بل يكون ضمن مجموعة أخرى مجسمات جنسون، تشمُل متعددات وجوه مُحدَّبة وجوهها مضلعاتٌ منتظمة.

كذلك، أُخذت أسماء المُجسَّمات الأرخميدية من عمل مفقود وضعه الرياضياتي الإغريقي أرخميدس لمناقشتها. ومع أنها لم تُنسَب في الأصل لأرخميديس، إلا أن ببس الرومي في عمله المُسمَّى الكنيس أشار إلى أرخميدس وأورد قائمة فيها 13 مُجسَّمًا ووصفها باختصار مُركزًا على عدد وجوهها.