مخطط تبادلي

الرموز

علاوةً على ذلك، في نصوص الجبر، يمكن الإشارة إلى نوع انحفاظ الشكل باستخدام الأسهم بأشكال مختلفة فيشار إلى: انحفاظ الأشكال الأحادية باستخدام ، والأشكال المقطوعة باستخدام , والأشكال المتماثلةباستخدام . يمثل السهم المتقطع عادة الادعاء بأن انحفاظات الأشكال المشار إليها توجد طالما استمر بقية المخطط. وهذا أمر شائع في كثير من الأحيان بما يكفي لأن تكون النصوص لا تفسر معاني أنواع مختلفة من الأسهم.

المخططات كدوال

إضافةً إلى ذلك، ومع ذلك ليس كل مخطط تبادليًا بالضرورة (ففكرة المخطط تعمم بشدة المخطط التبادلي): وفي أبسط الأشكال، فإن مخطط الكائن الفردي الذي يتضمن شكلاً بلوريًا ، أو يتضمن سهمين متوازيين (، تمثل )، يطلق عليها في بعض الأحيان الشكل الحر)، كما هو الحال في تعريف المتكافئ لا يحتاج إلى تبادل. علاوة على ذلك، فإن المخططات قد تكون غير مرتبة أو يستحيل رسمها وذلك عندما تكون الكائنات أو احتفاظات الشكل كبيرة (أو حتى غير محدودة).

وبالعكس، يحدد المخطط التبادلي التصنيفات المرتبة جزئيًا:

فالكائنات هي العقد،

ترسم عقدة كل كائن في فهرس التصنيف،

من جانب آخر، هناك انحفاظات للشكل بين أي كائنين وفقط إذا كان هناك مسار (موجه) بين العقد،

وعلى صعيد آخر، إزالة خرائط الهوية وانحفاظات الشكل التي يمكن التعبير عنها بشكل تركيبات،

يرمز السهم لإنشاء مجموعة من انحفاظات الشكل،

ومن جهة أخرى، العلاقة التي تتفرد بها هذه الانحفاظات (ويعرف أي تركيب للخرائط حسب مجالها، والهدف: وهو ما يطلق عليه اسم البديهيات).

وفي السياق ذاته، يمكن تفسير المخطط التبادلي في التصنيف C باعتباره دالة من فهرس التصنيف، J إلى C; يطلق على الدالة المخطط..

وعلى صعيد آخر، بشكل رسمي أكثر، يعد المخطط التبادلي تصويرًا لمخطط مفهرس بواسطة تصنيف مرتب جزئيا:

علاوةً على ذلك، تتوافق تبادلية المخطط (المساواة بين التركيبات المختلفة من الخرائط والكائنين) مع تفرد الخريطة بين الكائنين في التصنيف المرتب جزئيًا.

Diagram Chasing at موقع ماثوورلد

من جهة ثانية، WildCats is a category theory package for ماثماتيكا. Manipulation and visualization of objects, تطبيق محافظ على الشكلs, categories, مدلال (رياضيات)s، natural transformations.

تتبع المخطط

في هذا الإطار، من الأمثلة على البراهين باستخدام تتبع المخطط تلك التي تعطى في البرهان اللمي الخامس والبرهان اللمي على شكل الحية والبرهان اللمي المتعرج والبرهان اللمي التاسع.

ومن ناحية أخرى، تتبع المخطط هو إحدى وسائل البراهين الرياضية المستعملة خاصة في الجبر التماثلي. بالنسبة للمخطط التبادلي، فإن البرهنة باستخدام تتبع المخطط تتطلب الاستخدام الرسمي لخصائص المخطط، مثل الخرائط التباينية أو الشمولية، أو التسلسلات الدقيقة. حيث يؤسس القياس المنطقي، ويكون رسم المخطط مجرد وسيلة بصرية مساعدة. ويترتب على ذلك أن ينتهي الأمر إلى «تتبع» عناصر حول المخطط، حتى يتم إنشاء العنصر أو النتيجة المطلوبة أو التحقق منها.

التحقق من التبادلية

وفي السياق ذاته، تكون التبادلية منطقية في شكل مضلع بأي عدد محدود من الأضلاع (بما في ذلك ضلع أو ضلعان فقط)، بينما يكون المخطط تبادليًا إذا كان كل مخطط فرعي مضلع الشكل تبادليًا كذلك.

أمثلة

من جانب آخر، في المخطط التالي الذي يعبر عن نظرية التماثل الأولى، فإن التبادلية تعني أن :

فيما يلي مربع تبادلي عام فيه