مذبذب حدودي

التاريخ

من جانب آخر، في سنة 1877 ، صادف جورج ويليام هيل معادلة تفاضلية خاصة ذات معلمات متغيرة عندما كان يحقق في الاضطرابات في مدار القمر بسبب تأثير الشمس.

ومن ناحية أخرى، تم استخدام مكبرات الصوت البارامترية لأول مرة في 1913-1915 للاتصال الهاتفي الراديوي من برلين إلى فيينا وموسكو. تم التعرف على إمكانات التكنولوجيا للتطبيقات المستقبلية حتى ذلك الحين ، مثلًا من قبل إرنست ألكساندرسون . عملت المضخمات البارامترية الأولى عن طريق تغيير المحاثة. منذ ذلك الحين تم تطوير طرق أخرى مثل الصمام الثنائي السعة وأنابيب كليسترون وتقاطعات جوزيفسون والطرق البصرية.

وفي السياق ذاته، جاءت الملاحظات الأولى من مايكل فاراداي ، الذي وصف في عام 1831 الموجات السطحية في كأس نبيذ تم صنعه من أجل "الغناء". وجد أن اهتزازات كأس النبيذ كانت مدفوعة بقوى التردد المزدوج. فيما بعد ، في عام 1859 ، قام فرانز ميلدي بتوليد اهتزازات ذات معلمات مثارة في وتر باستخدام شوكة رنانة لتغيير توتر الوتر بشكل دوري بضعف تردد الرنين . كتب رايلي وصفًا للإثارة البارامترية كظاهرة عامة في عامي 1883 و 1887.

الوصف الرياضي

من جانب آخر، كان جورج فرانسيس فيتزجيرالد من أوائل من طبق هذا المفهوم على الدوائر الكهربائية حين حاول في سنة 1892 إثارة التذبذبات في رنان محث ومكثف عن طريق تغيير محاثة الدائرة المتذبذبة باستخدام دينامو كمضخة.

اختبار الاستقرار طبقا لـ فلوكيت

مكبرات بارامترية

وفي السياق ذاته، هناك طريقة أخرى لتحديد حدود الاستقرار وهي تحليل الثبات بحسب ـ Floquet . فيها يتم دمج DGL عدديًا ، في الحالات البسيطة كذلك بشكل تحليلي خلال فترة معلمة لـ 2K مع إعطاء ظروف أولية حقيقية مستقلة خطيًا ( K = درجات الحرية) ومصفوفة نقل 2K × 2K من القيم التي تم الحصول عليها للمصفوف التي تم إنشاؤها ، والتي تتميز بقيمها الذاتية المعقدة المترافقة عادةً بالاستقرار أو عدم الاستقرار (ما يسمى بمعادلة فلوكيت eigenvalue ). في الشكل البياني الموضحة أعلاه على اليسار ، يتم تطبيق طريقة فلوكيت على المعادلة التفاضلية للبندول الاهتزازي الضعيف جدًا أو المعادلة التفاضلية الرياضية. توجد حلول دورية على الخطوط الفاصلة بين المستقرة (الموضحة هنا باللون الأخضر) والمنطقة غير المستقرة (الموضحة في الشكل باللون الأصفر). في نطاق الثبات ، يميل البندول إلى العودة إلى موضع الصفر (إذا كان هناك احتكاك ؛ بدون احتكاك ، تتم التذبذبات الصغيرة والثابتة اعتمادًا على النبضة الأولية). يمكن كذلك ملاحظة هذه المعادلة التفاضلية أنه إذا لم يكن هناك تخميد لتحليل الثبات ، فضلًا عن الإثارة بتردد طبيعي مزدوج ومفرد ، فإن الإثارة بـ 2/3 من التردد الطبيعي (2/4 ، 2/5 إلخ. يمكن التعرف عليه هنا) من التردد الطبيعي لا يزال له معنى رياضي معين (إثارة بــ. 2/4 ، 2/5 من التردد الطبيعي إلخ. يمكن التعرف عليه هنا)

نأخذ في الاعتبار المعادلة التفاضلية أعلاه

وبذلك نحصل على المعادلات

من أجل فصل نظام المعادلات هذا ، يمكن إجراء تحويل متغير آخر

وفي السياق ذاته، المطالان و يعتمد ان على الزمن . ومع ذلك ، بالنسبة للإثارة البارامترية ، عادةً ما تتغير المطال ببطء أكثر من نغير دالة الجيب أو جيب التمام للحل. بمعنى آخر ، يحدث التغيير في سعة الاهتزاز بشكل أبطأ من الاهتزاز نفسه. استبدال هذا الحل في المعادلة التفاضلية والاحتفاظ فقط باجزاء المعادلة من الدرجة الأولى ، نحصل على معادلتين مرتبطتين

نفترض أن دالة الضخ يمكن كتابتها على الصورة التالية:

ومن جهة أخرى، حيث نصف تردد المضخة يتوافق على وجه التقريب مع تردد التذبذب. هذه الحالة الخاصة من معادلة هيل التفاضلية تسمى المعادلة التفاضلية الرياضية . ومع ذلك ، فإن المطابقة التامة للترددات ليست ضرورية للحل ، لأن التذبذب يتكيف مع إشارة المضخة. بحسب نظرية فلوكيت ، يمكن كتابة حل المعادلة التفاضلية كـالآتي:

شكل توضيحي بمكونات فورييه

وفي هذا الصدد، في فضاء فورييه ، يكون الضرب هو تراكب تحويل فورييه و . التضخيم الإيجابي يأتي من حقيقة أن المكون من والمكون من لإشارة الإثارة تصبح مماثلة مع عكس الإشارة . هذا يفسر سبب وجود تردد المضخة ، الذي هو ضعف تردد الرنين للمذبذب. فإذا كان تردد المضخة يختلف اختلافًا كبيرًا فلن يؤدي ذلك إلى اقتران ، أي لن ينشأ رد فعل إيجابي بين المكونات و .

من جانب آخر، نظرًا لأن الاشتقاق الرياضي أعلاه قد يبدو معقدًا وصعبًا ، فمن المفيد النظر إلى اشتقاق وصفي أكثر. نكتب المعادلة التفاضلية على الصورة:

علاوةً على ذلك، نفترض أن دالة المضخة هي دالة جيبية ذات تردد مزدوج ، وأن التذبذب له بالفعل شكل مطابق ، أي

وفي السياق ذاته، يمكن استخدام الدوال المثلثية لنواتج الدالتين الجيبيتين ، مما يؤدي إلى إشارتين للمضخة.

روابط انترنت

ومن جهة أخرى، فرانز جوزيف إلمر: حدودي الرنين . unibas.ch ، 20. يوليو 1998.

"تأرجح": مبخرة متأرجحة

اقرأ كذلك

مذبذب بصري حدودي

علاوةً على ذلك، مثال أولي: يتم فحص "المبخرة المتأرجحة" المعلقة من سقف الكنيسة في كاتدرائية سانتياغو دي كومبوستيلا من قبل فريق ما يسمى يتم "تحريك" Botafumeiros "إلى الرنين حدوديًا ، حيث يتم استخدام مبدأ" التردد المزدوج ": عندما يحدث التقاطع الصفري ، يتم تقصير طول البندول للوعاء بشكل منهجي" عن طريق سحبها إلأى أعلى ".

دراسة الاستقرار طبقا لـ هيل

وفي هذا السياق، تم تطوير مصفوفات النظام (الدورية) كذلك في سلسلة فورييه. يؤدي مبدأ التوازن التوافقي إلى مسألة القيمة الذاتية مع مصفوفات الحجم [K (2N + 1) × K (2N + 1)] ( K = درجات الحرية ، N = عدد وجموعات فورييه) مع القيم الذاتية التي تهم تحليل الاستقرار (عدد القيم الذاتية eigenvalues المقابلة لأحجام المصفوفة).

يحدد حجم الجزء الحقيقي من القيمة الذاتية الاستقرار.

نقطة البداية هي الدالة المبدئية التالية:

وفي هذا الصدد، حيث يحتوي العامل الأول على القيمة الذاتية eigenvalue التي تميز الاستقرار (انظر أسفله ).  والعامل الثاني دوري مع تردد المعلمة. كسلسلة فورييه معقدة ، لها الشكل التالي:

مبدأ التشغيل

في هذا الإطار، تعمل المضخمات البارامترية كذلك عن طريق تغيير معلمات الاهتزاز. يمكن فهمه بشكل حدسي لمكبر السعة المتغير عن طريق العلاقات التالية. شحنة المكثف

ومن ناحية أخرى، في الممارسة العملية ، يحتاج مذبذب حدودي إلى الوصلات التالية:

المخرج ،

ومن ناحية أخرى، تحتوي إشارة الخرج الناتجة على ترددات مختلفة ، تتوافق مع مجموع إشارة الإدخال والاختلاف وإشارة الخرج مباراة ، لذلك و .

ومن ناحية أخرى، يتم تشغيل مضخم حدودي كخالط تردد. ينعكس تضخيم مزيج الإشارة هذا في كسب الإخراج. يتم خلط إشارة الدخل الضعيفة مع إشارة المذبذب القوية ويتم استخدام الإشارة الناتجة في مراحل المستقبل اللاحقة.

وعلى صعيد آخر، إذا تم شحن مكثف حتى يتطابق الجهد مع إشارة الدخل الضعيفة ، ثم يتم تقليل سعة المكثف ، مثلًا عن طريق تحريك وابعاد لوحات المكثف اللوحي ، سيزداد الجهد المطبق وبالتالي سيزداد تضخيم الإشارة الضعيفة . إذا كان المكثف عبارة عن صمام ثنائي السعة ، فيمكن تحريك الألواح ، أي يمكن تغيير السعة ، ببساطة عن طريق تطبيق جهد يعتمد على الزمن . يسمى جهد القيادة هذا كذلك بجهد المضخة.

جهد المضخة ،

اتصال أرضي ،

في بعض الأحيان جزء رابع كذلك لتعيين المعلمات.

ومن ثم الجهد الواقع عبر المكثف كذلك:

وعلى صعيد آخر، يحتاج مضخم حدودي كذلك إلى مدخل لإدخال اشارة تضخيم . نظرًا لأن الصمام الثنائي يحتوي على اتصالين فقط ، فلا يمكن استخدامه إلا مع شبكة LC. يمكن تنفيذ ذلك كمضخم للمقاومة ، كمضخم أنبوب موجة متنقلة ، أو بمساعدة جهاز دائري .

التطبيقات

مزايا استخدام مضخم حدودي

علاوةً على ذلك، المذبذبات البارامترية كمضخمات منخفضة الضوضاء ، تحدث بشكل خاص في نطاق الراديو والميكروويف. يتم تحفيز دائرة تتأرجح بواسطة الصمام الثنائي حيث يتم تغيير سعته بشكل دوري. YAG - أدلة الموجات تعمل في تقنية الميكروويف على نفس المبدأ.

حساسيتهم العالية

ضجيجها الحراري المنخفض ، لأن المفاعلة (وليس المقاومة) تتغير

تعريف

وفي السياق ذاته، الدوال المعتمدة على الزمن و هي معلمات النظام. المعلمات لها خاصية أنها حقيقية ، ولا تعتمد على حالة المذبذب وتتغير بشكل دوري . كن إظهار أنه يمكن دمج كلا المعلمتين في دالة الإثارة المعتمدة على الزمن . تسمى دالة الإثارة هذه بدالة مضخة. الدائرة الكهربية أو الآلية التي تغير المعلمات تسمى المضخة.

.

وفي السياق ذاته، الفائدة العملية تنشأ من أبسط حالات الرنين ، حيث تتغير معلمات المذبذب بضعف التردد الطبيعي للمذبذب. هنا يتأرجح المذبذب بطريقة ثابتة الطور بحسب الإثارة البارامترية ويستهلك الطاقة الموردة للنظام. بدون آلية للتعويض عن هذه الزيادة ، يزداد اتساع التذبذب أضعافا مضاعفة . ومن الأمثلة البارزة على ذلك "المبخرة المهتزة" الموصوفة أدناه في كاتدرائية سانتياغو دي كومبوستيلا ، نهاية طريق سانت جيمس في شمال إسبانيا.

وعلى صعيد آخر، لذلك ، يُستكمل الإثارة البارامترية أحيانًا بالإثارة القسرية ، بحيث تصبح المعادلة التفاضلية غير متجانسة. إلى جانب المعلمات التي تعتمد على الوقت ، يتم الحصول على عنصر اضطراب وبالتالي يتم الجمع بين الإثارة القسرية والمعلمة.

من جانب آخر، يمكن وصف المذبذب بإثارة حدودية بحتة بالمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة التالية:

.

وفي هذا السياق، بالنسبة للأنظمة ذات درجات الحرية المتعددة ، تحتوي المعلمات على شكل مصفوفة ويمكن تلخيص المتغيرات التابعة في محصلة متجه.

وفي هذا السياق، من سمات مثل هذه الإثارة أنها تبدأ من مذبذب بمطال أولي من الصفر ، فإن السعة (المطال ampletude يظل مساويا للصفر ، لأن الظروف الأولية تحصل دائما عندما تكون . ومع ذلك ، نظرًا لأن التضخيم يحدث حتى مع أصغر الانحرافات (غير المقصودة) ، لم يتم ملاحظة هذه الحالة في الممارسة العملية.

ملخص لمعايير دالة الإثارة

عادة ما يتم فهم الإثارة على أنها انحراف عن متوسط الوقت

نبدأ بالمعادلة التفاضلية أعلاه:

وفي السياق ذاته، الدالة المعتمدة على الزمن تسمى دالة المضخة. لذلك يمكن دائمًا وصف كل نوع من أنواع الإثارة البارامترية بالمعادلة التفاضلية التالية:

حيث :

من جانب آخر، من أجل الجمع بين كل من العوامل المعتمدة على الزمن في المعادلة التفاضلية في دالة مضخة ، يمكن أولاً إجراء تحويل متغير من أجل التخلص من جزء المعادلة المعتمد على السرعة. وبهذا نضع:

وعلى صعيد آخر، المعادلة التفاضلية لمذكورة أعلاه حيث تتغير بشكل دوري تسمى معادلة هيل التفاضلية .

بعد اشتقاقها مرتين وإدخالها في المعادلة الأصلية ،

حيث الثابت يتوافق مع تردد التذبذب المخمد للمذبذب ، أي :

.

حل لإثارة جيبية بضعف التردد

مع الثوابت

وفي هذا الصدد، حل هذه المعادلة هو دالة أسية. ولكي يتزايد مطال فلا بد من تطبيق الشروط:

علاوةً على ذلك، مع ملاحظة أن سلوكهم يعتمد على ما إذا كانت أكبر أو أقل من أو يساوي الزمن المتكامل للمعامل المعتمد على السرعة.

من جهة ثانية، الثابت يسمى عدم التوافق. المعادلة التفاضلية ل لا تعتمد على . ومع أداء التقريب الخطي يمكن بيان أن تزداد أضعافا مضاعفة وتقترب إمن نقطة التوازن . وبعبارة أخرى ، فإن المذبذب البارامترى مغلق طورًا على إشارة المضخة. فإذا وضعنا ، وبافتراض أن الاقتران قد تم ، تصبح المعادلة التفاضلية للمطال :

إضافةً إلى ذلك، يتم الحصول على أكبر نمو في السعة (المطال) لهذه الحالة عندما . التذبذب المقابل للمتغير غير المحول لن يكون من الضروري زيادته. المطال الخاص تعطىه المعادلة التالية:

حل معادلة ماتيو مع ماتلاب

Video: مكتبة

علاوةً على ذلك، نموذج كود (أوكتاف) لتوليد خريطة ثبات لبندول سلسلة بطول سلسلة متغير

الاستقرار والرنين

إضافةً إلى ذلك، تسمى الحالة التي يتدي فيها تغيير المعلمات إلى زيادة مطال التذبذب بالرنين المعياري. بالنسبة للتطبيقات ، غالبًا ما يكون من المثير للاهتمام ما إذا كان التذبذب مستقرًا أم لا. في حالة المذبذب التوافقي المأخوذ في الاعتبار يعني الأستقرار أن الطاقة وبالتالي مطال التذبذب لا تتباعد إلأى نحو اللانهاية. وبالتالي فإن الاهتزازات المستقرة تكون مرتبطة ومحدودة ، أما الاهتزازات غير المستقرة فهي تكون غير مرتبطة. يمكن توضيح استقرار النظام في الشكل البياني (انظر الشكل ). طريقتان لتحليل الاستقرار موضحة أدناه.