مرونة خطية

الالستوستاتيك

وفي هذا السياق، هي دراسة للمرونة الخطية في حالة التوازن، حيث ان محصلة القوى على جسم مرن تكون صفر، والإزاحة هنا ليست دالة الوقت. ومعادلة التوازن هي:

المعادلة التوافقية الثنائية

• يمكن كتابة معادلة التوازن بالشكل التالي:
• و إذا فرضنا ان القوة تساوي صفر , فستتكون لنا المعادلة التالية:
• و إذا بسطنا المعادلة السابقة:
• حيث نستنتج ان:
• صيغة الضغط

أو

حيث و معايير عوجاء (Lamé parameter).

هو تنسور كوشي للإجهاد (Cauchy stress tensor),

وفي هذا السياق، الإزاحة، * هو تنسور الصلابة (stiffness tensor)، * و هي ثوابت للمادة، * هو الانفعال، * هي .

ومن جهة أخرى، هي قوة الجسم، * هي الكثافة أو الكتلة الحجمية (mass density),

صيغة الإزاحة

اختلاف التوسعات (Differentiating yields):

في هذا الإطار، ان الازاحات معروفة في كل مكان على حدود الجسم. وفي هذا السياق فان الإجهاد والانفعال لن تكون مجهولة حسب قانون هوك، كما هو مبين في المعادلة التالية:

استبدال معادلة التوازن بالتوسعات:

نموذج الاحداثيات الديكارتي

• المعادلات هي:
• معادلة الحركة:
• معادلات الانفعال - الإزاحة:
• المعادلات الأساسية.و هذه المعادلة من قانون هوك:
• حيث:

نموذج التنسور المباشر

إضافةً إلى ذلك، معادلة الحركة، والتي تعبر عن قانون نيوتن الثاني:Slaughter, W. S., (2002), The linearized theory of elasticity, Birkhauser.[1][1]

هو موتر الإجهاد لكوشي،

معادلات الانفعال - الإزاحة:

حيث:

من جانب آخر، في هذا النموذج والذي يكون مستقلا عن عملية اختيار الإحداثيات تكون المعادلات هي:

هو متجه الإزاحة

ومن جهة أخرى، هو تنسور الانفعال متناهي الصغر (infinitesimal strain tensor),

وعلى صعيد آخر، المعادلات الأساسية.يمثل قانون هوك سلوك المادة ويربط بين مجاهيل الإجهاد والانفعال. والمعادلة العامة لقانون هوك هي:

الصيغة الرياضية

وعلى صعيد آخر، المرونة الخطية تقوم على أساس ثلاث معادلات تنسور تفاضلية جزئية لتوازن الزخم الخطي وست علاقات للانفعال - الإزاحة المتناهية الصغر. وإضافة إلى مجموعة المعادلات التفاضلية هناك مجموعة العلاقات الأساسية الجبرية الخطية.

حلول للحالات المرنة

اتصال جسمين مرنين معا يكون تمغنط.

نقطة القوة في الداخل لا نهائية في الخواص الموحدة.

وسائل الخواص الموحدة المتجانسة

في هذا الإطار، من وسائل الخواص الموحدة ان تنسور مرن يعطينا العلاقة بين الضغوط (الناتجة من الضغوط الداخلية) والسلاسل المتكونة (التشوهات).و في الخواص الموحدة للوسط (أي هواء أو ماء الوسيط المادي) فنجد ان التنسور المرن لا يكون أي علاقة مباشرة فمثلا عند اعطائها القوة سوف لن تكون بنفس التوجه (بالنسبة لاتجاه القوة).و في حالة الخواص الموحدة فان التنسور المرن:

حيث λ هي المعيار الأول أو الباروميتر الأول.

في هذا الإطار، و هو كما ذكرنا سابقا بأن الشق الأيمن يعبر عن قوة الشد والايسر عن الضغط.و بمعادلة ابسط:

إضافةً إلى ذلك، حيث K (فقدان المقدرة) و (الجمود) وهما ثابتان ويطلق عليهما معاملا المرونة، إذا كان الوسط متجانس تام، فإن معاملات المرونة (K و) لن تكون مهمة للوسيط أي ان كل منهما بمقدار وحدة واحدة.

المعادلة الأساسة هي:

حيث ν نسبة بواسون، و E  معامل يونغ.

ومن جهة أخرى، و يقسم هذا التعبير الرياضي إلى قسمين الايسر الذي يرافق ضغط معين، والأيمن المرافق لقوة شد معينة.و بعبارة ابسط:

كذلك، لكن المعادلة التأسيسية هي معادلة خطية.و يمكن ان تكون بشكل أكثر عمومية كالتالي:

هو معيار الانحراف(divergence operator),

يمثل معيار الميل و يمثل النقل،

يمثل المشتقة الثانية بالنسبة للوقت (أي التسارع).

هو تنسور صلابة المادة (stiffness tensor),

هو الكثافة أو الكتلة الحجمية (mass density),

هو قوة الجسم لكل وحدة حجم،