مسألة جسمين

مبرهنة نيوتن للمدارات الدوارة

علاوةً على ذلك، ينتج الحد r−3 في جميع قوانين القوى السابق ذكرها، مشيراً إلى أن إضافة قوة التكعيب العكسي لا يؤثر على قابلية حل المسألة بدلالة حدود دوال معلومة.بشكل عام، بين إسحق نيوتن أنه، بإجراء تعديلات على الشروط الابتدائية، فإن إضافة قوة كهذه لا يؤثر على الحركة الشعاعية للجسيم، لكنه يضاعف حركتها الزاوية بمعامل ثابت. الجدير بالذكر أن توسيعاً لمبرهنة نيوتن اكتشف عام 2000 من قبل محمود وفاودا.

نظرية بيرتراند

ومن جهة أخرى، بين بيرتراند أن هناك نوعين فقط من القوى تنتج عنها مدارات مغلقة، F(r) = αr (قوة خطية) وF(r) = α/r2 (قانون التربيع العكسي). المدار المغلق هو مدار قابل للدخول: يعود إلى وضعية البداية بعد وقت محدد تماما بنفس السرعة; بالتالي، فإنه ينفذ تماماً نفس الحركة مرة تلو أخرى. أحد هذه المعايير يكمن في أن الفترة اللازمة للتذبذب شعاعياً ينبغي أن يكون مساوياً لعدد نسبي مضروب في الفترة اللازمة للدوران حول المدار. قابلية القياس لهذه الدورة يمكن أن تكون صحيحة في حالات خاصة لقوانين قوة أخرى، ولكنها صحيحة عموماً في القانونين الخاصين المذكروين آنفين.

معطين معادلة الحركة الجديدة

تصبح هذه المعادلة شبه خطية في عملية تغيير المتغيرات u = 1/r

حل مسائل القوة المركزية بدلالة دوال معلومة

ومن ناحية أخرى، الحالتين الأوليتين هما حالتان خاصتان من الحالات الأربع التالية، وينتج عنها دوال دائرية دائماً.

وفي السياق ذاته، إذا كانت القوة عبارة عن قانون أسي أي إذا كانت F(r) = G rn، فإنه يمكن التعبير عن u بدلالة الدوال الدائرية و\أو الدوال البيضوية إذا وإذا كان فقط n مساويا لـ 1, -2, -3 (دوال دائرية) و-7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 و-7/3 (دوال بيضوية). بالمثل، هناك ثمان تراكيب خطية ممكنة فقط من قوانين القوى تعطينا الحل بدلالة الدوال الدائرية والبيضوية

ومن ناحية أخرى، حيث C ثابت التكامل. تم اشتقاق هذا التكامل من مكاملة المعادلة لـu مرة

في هذا الإطار، يمكن حل هذه المعادلة لأجل (u(θ عدديا على وجه التقريب لأي قوة مركزية (F(1/u. مع ذلك، هناك عدد بعدد الأصابع لقوى ينتج عنها صيغاً لـ u بدلالة دوال معينة من θ. يقال عن هذا النوع من المسائل بإنها قابلة للتكامل، كونها تتعلق بحل التكامل

الشغل

كذلك، إجمالي الشغل المبذول خلال فترة زمنية ما بواسطة القوى الناشئة عن تأثير الجسمين على بعضهما هو نفسه الشغل المبذول عند تطبيق قوة واحدة على كلا الإزاحتين.

• المصادر
• كتب مرجعية
• وصلات خارجية

تخفيض الإثنتين إلى مسألتين لجسم واحد

وفي السياق ذاته، لتكن x1 وx2 هما موضعي الجسمين، وm1 وm2 هما كتلتيهما. الهدف هو التحقق من مساري المقذوفتين x1(t) وx2(t) لكل الأزمنة t، بدلالة المواضع الأولية x1(t=0) وx2(t=0) والسرعات الابتدائيةv1(t=0) وv2(t=0).

عند تطبيقها على الكتلتين، قانون نيوتن الثانيwينص على

في هذا الإطار، بجمع وطرح هاتين المعادلتين يمكننا فصلهما إلى مسألتين منفصلتين لمسألة جسم واحد، وبالتالي حلهما بشكل مستقل.

حركة مركز الكتلة (مسالة جسم واحد الأولى)

ومن جهة أخرى، بجمع المعادلتين (1) و(2) يعطينا معادلة تصف حركة مشتركة حول مركز الكتلة (مرجح). بالمقارنة، طرح المعادلة (2) من المعادلة (1) يعطي معادلة تصف كيف يتغير المتجه r = x1 − x2 بين الكتلتين زمنيا. إن الحل المنفصل لمسألة جسم واحد لهما يمكن دمجه لإيجاد الحلول لمساري القذيفتين x1(t) and x2(t).

وفي السياق ذاته، حيث F12تمثل القوة على الكتلة 1 نتيجة لتآثرها مع الكتلة 2، وF21 هي القوة المؤثرة على الكتلة 2 نتيجة تآثرها مع الكتلة 1.

حركة جسمين في مستوى

مع F = μ d 2r / dt 2.

معدل التغير في الزخم الزاوي L يساوي صافي العزم N

من جانب آخر، بالاستعانة بخاصية الضرب المتجهي بأن v × w = 0 لأي متجهات v وw مشيرة في نفس الاتجاه،

من جهة ثانية، تقع حركة جسمين حول بعضهما دائما على مستوى (في مركز إطار الكتلة). بتعريف كمية التحرك الخطي p والزخم الزاوي L بالمعادلات

الحل العام للقوى المركزية

حيث F(r) تكون سالبة في حال قوى الجذب.

حيث أن ω هي السرعة الزاوية وL = μ r2 ω هو الزخم الزاوي.

في هذا الإطار، لما كانت القوة بالاتجاه الشعاعي، فإن الحد في الاتجاه الأفقي طريقة أخرى لاستنباط علاقة حفظ الزخم الزاوي.

وفي هذا الصدد، إذا كانت L ذات قيمة لاصفرية، يمكن تغيير المتغير المستقل في المعادلة الشعاعية من t إلى θ

باستعمال تفاضل المتجة في الإحداثيات القطبية نجد أن

من جانب آخر، في حالات كهذه يكون من الأنسب الانتقال إلى الإحداثيات القطبية، بما أن الحركة في المستوى. يمكن احتساب المشتقة الثانية بسهولة بالنظر للعلاقة بين الإحداثيات الكارتيزية والقطبية:

يمكن الآن كتابة معادلة المركبة الشعاعية لمتجه الإزاحة:

كذلك، في الكثير من المسائل الفيزيائية، تسمى القوة (F(r قوة مركزية, أي أنها على الصورة

بإضافة معادلات القوى (1) و(2) نحصل على

حركة إزاحة المتجه (مسالة جسم واحد الثانية)

علاوةً على ذلك، تبين أن السرعة المتجهة V = dR/dt لمركز الكتلة تكون ثابتة، وينجم عن ذلك ثبات إجمالي كمية التحرك m1 v1 + m2 v2 كذلك (حفظ كمية التحرك). بالتالي يمكن تحديد الموضع R (t) لمركز الكتلة في جميع الأوقات من الموضعين والسرعتين الابتدائيتين.

حيث أننا استعملنا قانون نيوتن الثالث F12 = −F21 وحيث أن

كذلك، بقسمة معادلتي القوة على الكتل ذات العلاقة، بطرح المعادلة الثانية من الأولى وبإعادة الترتيب نحصل على المعادلة

وفي هذا الصدد، القوة بين الجسمين، التي مصدرها الجسمين، ينبغي أن تكون دالة فقط في المسافة الفاصلة بينهما، r وليس في موضعيهما المطلقين x1 وx2; ما لم، لن يكون للفيزياء تماثل معنوي، أن قوانين الفيزياء ستتغير من مكان لآخر. بعبارة أخرى، ليست المسألة في أي مكان في الكون يقع الجسمين، بما أنهما الجسمين الوحيدين في الكون وأنهما مصدر القوى المؤثرة على بعضهما. بالطبع فهذا ليس هو الواقع، وإنما فكرة للتبسيط.. لكن، صمن حدود المسألة، تعتمد القوة على rفقط، ويمكن كتابة المعادلة المطروحة:

تمثل موضع مركز الثقل (المرجح) للنظام. المعادلة الناتجة

وفي هذا الصدد، حيث استعملنا مرة أخرى قانون نيوتن الثالثw F12 = −F21 وحيث أن r تمثل متجه الإزاحة من الكتلة 2 إلى الكتلة 1، كما هو معرف أعلاه.

حل هذه المعادلة هو

وفي السياق ذاته، يطلق على هذه الحالة الخاصة من قانون التربيع العكسي لجسمين مسألة كبلر.

كذلك، حيث و هي ثوابت، ولأجل (قوة تنافر) المتطلب الإضافي . ذات هذا الحل الممكن تطبيقه على القيم التي لها u > 0، يرينا أنالمدار عبارة عن مقطع مخروطي. من أجل (قوة جذب) يكون قطع ناقص، قطع زائد أوقطع مكافئ, وذلك اعتمادا على ما إذا كانت أقل من، أكبر من، أو تساوي . لأجل (قوة تنافر) يكون دائماً قطاع زائد. لأجل يكون خط مستقيم.

حيث هي كتلة مخفضة

من جهة ثانية، عند إيجادR (t) وr(t)، يمكن حينئذ إيجاد المسارات الأصلية للمقذوفتين

وفي هذا الصدد، بحل المعادلة في r(t)نكون قد حللنا لغز مسألة الجسمين; الطرق العامة للحل مشروحة بالأسفل.

إضافةً إلى ذلك، ويمكن التحقق كذلك بتعويض تعريفات R وr في طرفي المعادلتين من اليمين.

قوانين قوة التربيع العكسي: مسألة كبلر

في هذا الإطار، من أجل ثابت ما (سالب القيمة في حال قوة الجذب، موجب في قوى التنافر)، تصبح معادلة مسار القذيفة خطية

وفي السياق ذاته، إذا كانت قوة مركزية خاضعة لقانون التربيع العكسي مثل الجاذبية أوالكهروستاتيكا في الفيزياء الكلاسيكية

مبرهنة بونيت

كذلك، تنص مبرهنة بونيت على أنه، إذا كان ممكناً إنتاج نفس المدار بعدد n من أنواع القوى المختلفة تحت شروط ابتدائية مختلفة من السرعة، فإن نفس المدار يمكن إنتاجه بتركيب خطي من نفس القوى، إذا تم اختيار سرعة ابتدائية بعناية.