مسألة كبلر

الميكانيكا الكلاسيكية

علاوةً على ذلك، تحافظ مشكلة كيبلر كذلك على متجه لابلاس - رانج - لينز، الذي تم تعميمه منذ ذلك الحين ليشمل تفاعلات أخرى وقد سمح حل مشكلة كبلر للعلماء بإظهار أن حركة الكواكب يمكن تفسيرها بالكامل بواسطة الميكانيكا الكلاسيكية وقانون جاذبية نيوتن ولعب التفسير العلمي للحركة الكوكبية دورًا مهمًا في دخول عصر التنوير.

وعلى صعيد آخر، تعتبر مشكلة كيبلر ومشكلة المذبذب التوافقي البسيطة أهم مشكلتين أساسيتين في الميكانيكا الكلاسيكية حيث إنهما المشكلتان الوحيدتان اللتان أقفلتا مدارات لكل مجموعة ممكنة من الشروط الأولية، أي العودة إلى نقطة البداية بنفس السرعة ( مبرهنة برتراند ).غالبًا ما استعملت مشكلة كيبلر لتطوير طرق جديدة في الميكانيكا الكلاسيكية ، مثل ميكانيكا لاغرانج ، وميكانيكا هاميلتون ، ومعادلة هاملتون جاكوبي ، وإحداثيات زاوية العمل

حلها هو الثابت بالإضافة إلى

القوة الطاردة ( k > 0) تنطبق فقط على e > 1.

حيث ( الانحراف ) و( تخالف المرحلة ) هي ثوابت التكامل.

علاوةً على ذلك، ومع مقارنة هذه الصيغ تبين أن   يتوافق مع شكل بيضاوي يتوافق مع المكافئ، وE>0 يتوافق مع القطع الزائد . خاصه للمدارات الدائرية بشكل مثالي (القوة المركزية تساوي بالضبط متطلبات القوة المركزية، التي تحدد السرعة الزاوية المطلوبة لنصف دائري معين).

علاوةً على ذلك، هذه هي الصيغة العامة لقسم مخروطي له تركيز واحد على الأصل حيث  يناظر دائرة و يتوافق مع الناقص و يتوافق مع المكافئ، و يتوافق مع الزائدة والانحراف  ترتبط بالطاقة الكلية

التسمية

من جهة ثانية، سميت مسألة كيبلر نسبة إلى يوهانس كيبلر الذي اقترح قوانين كيبلر للحركة الكوكبية (التي هي جزء من الميكانيكا الكلاسيكية وحل مشكلة مدارات الكواكب)

أهمية مسألة كيبلر في الميكانيكا السماوية

علاوةً على ذلك، لأن الجاذبية النيوتونية تمتثل لقانون مربع عكسي وتشمل الأمثلة القمر الصناعي الذي يتحرك حول كوكب أو كوكب حول شمسه أو نجمين ثنائيين عن بعضهما البعض

حل مسألة كيبلر

إضافةً إلى ذلك، والزخم الزاوي يتم الحفاظ عليها. والقوة المطبقة للداخل يساوي متطلبات القوة الجاذبة كما هو متوقع.

وعلى صعيد آخر، معادلة الحركة لنصف القطرمن جسيم من الكتلة تتحرك في إمكانات مركزية  من معادلات لاغرانج

إعطاء معادلة جديدة للحركة مستقلة عن الزمن

علاوةً على ذلك، إذا لم يكن L صفر، فإن تعريف الزخم الزاوي يسمح بتغيير المتغير المستقل من إلى

التعريف الرياضي

الإمكانيات العددية ( الطاقة المحتملة للجسم غير المركزي) هي:

من جانب آخر، القوة المركزية F التي تختلف من حيث المقدار كمربع معكوس للمسافة r بينهما:

إضافةً إلى ذلك، حيث k هو ثابت و r يمثل وحدة المتجه على طول الخط بينهما وقد تكون القوة قوية ( k <0) أو ضعيفة ( k > 0)

التوسع في المدى الأول هو

بعد الاستبدال وإعادة الترتيب:

المدار   يمكن اشتقاقها من المعادلة العامة

من جانب آخر، بالنسبة لقانون القوة المعكوسة مثل قوة الجاذبية أو الإلكتروستاتيك ، يمكن كتابة الإمكانات:

علاوةً على ذلك، تصبح هذه المعادلة شبه خطية عند إجراء تغيير للمتغيرات ثم ضرب الجانبين من قبل

التطبيقات

علاوةً على ذلك، تستعمل مسألة كيبلر في عديد من المجالات وبعضها يتجاوز الفيزياء التي درسها كيبلر نفسه

حركة الجسيمات المشحونة

وفي السياق ذاته، تعتبر مشكلة كيبلر مهمة كذلك في حركة الجسيمات المشحونة، لأن قانون الكهرباء في كولومب يطيع كذلك قانونًا مربعًا معكوسًا . ومن الأمثلة على ذلك ذرة الهيدروجين والبوزيترونيوم والميونيوم اللتين لعبت جميعها أدوارًا مهمة كنظم نموذج لاختبار النظريات الفيزيائية وقياس ثوابت الطبيعة.