مسار دوبينز

مناقشة

وفي السياق ذاته، في عام 1957، أثبت دوبنز نتائجه المتعلقة بمسارات دوبنز باستخدام أساليب التحليل الرياضي. فيما بعد، في سنة 1974، قدم هارولد هـ. جونسون إثباتًا آخر لنفس النتائج، من خلال تطبيق مبدأ بونترياجين الأقصى . وضع هارولد جونسون شروطاً ضرورية وكافية لمنحنى مستوٍ، وهي ان يكون له انحناء متصل متسلسل محدد ونقاط واتجاهات أولية ونهائية محددة، لييصبح طولاً هو الأقصر بين جميع المسارات الممكنة. وفي عام 1992 تم إظهار نفس النتيجة مرة أخرى باستخدام مبدأ بونترياجين الأقصى. في الآونة الأخيرة، تم تقديم دليل نظري لمنحنى هندسي بواسطة J. Ayala و D. Kirszenblat و J. Hyam Rubinstein. وقد قدم J. Ayala دليلاً يميز مسارات دوبين في فئات التماثل.

مسألة فاصلة دوبين

مراجع

في هذا الإطار، تعتبر مسألة الفترات لمسار دوبنز نوعًا متقدمًا من مسألة مسار دوبنز الأساسية، حيث يتم تحديد مجال (فترة) من الاتجاهات الممكنة عند نقطتي البداية والنهاية بدلاً من تحديد اتجاه محدد بدقة. في هذه الحالة يتم تقييد الاتجاه المماس للمسار عند النقاط الأولية والنهائية بحيث يقع ضمن الفواصل الزمنية المحددة. يمكن حل هذه المشكلة باستخدام التحليل الهندسي، أو باستخدام مبدأ الحد الأدنى لبونترياجين.

التطبيقات

ومن جهة أخرى، يمكن وصف نوع المسار الأمثل باستخدام تشبيه بالسيارات من خلال القيام "بالانعطاف إلى اليمين (R)"، أو "الانعطاف إلى اليسار (L)"، أو القيادة "بشكل مستقيم (S)." سيكون المسار الأمثل دائمًا واحدًا على الأقل من الأنواع الستة: RSR، وRSL، وLSR، وLSL، وRLR، وLRL. مثلًا، لنفترض أنه بالنسبة لبعض المواضع الأولية والنهائية والمماسات المعطاة، يتبين أن المسار الأمثل هو من نوع "RSR". وهذا يتوافق مع قوس انعطاف يمين (R) يتبعه قطعة مستقيمة (S) يتبعها قوس انعطاف يمين آخر (R). التحرك على طول كل جزء في هذا التسلسل للحصول على الطول المناسب سيشكل أقصر منحنى يربط نقطة البداية A بنقطة النهاية B مع المماسات المطلوبة في كل نقطة نهاية والتي لا تتجاوز الانحناء المعطى.

ومن ناحية أخرى، مثلًا، في حالة الروبوت ذي العجلات، يكون نموذج السيارة الحركية البسيطة (المعروفة كذلك باسم سيارة دوبينز) للأنظمة هو: بحيث هو موقع السيارة، هو اتجاه السيارة ، كما ان هي السرعة الثابتة التي تتحرك بها السيارة و u معدل التحكم في الالتفاف، وهو محدود بقيمة قصوى. في هذه الحالة، يصبح معدل الدوران الأقصى مساوي للحد الأدنى لنصف قطر الدوران (وبالمثل الحد الأقصى للانحناء). كما ان المماسات الأولية والنهائية الموصوفة تطابق مع العناوين الأولية والنهائية. يعطي مسار دوبينز أقصر مسار يربط بين نقطتين موجهتين وهو ما يمكن تنفيذه في نموذج الروبوت ذي العجلات.

من جانب آخر، يتم استخدام مسار دوبينز بشكل شائع في مجالات الروبوتات ونظرية التحكم كطريقة لتخطيط المسارات للروبوتات ذات العجلات والطائرات والمركبات تحت الماء. توجد طرق هندسية بسيطة وطرق تحليلية لحساب المسار الأمثل.