مشتقة زمنية

الاستعمال في الفيزياء

• القوة هي المشتقة الزمنية للزخم.
• القدرة هي المشتقة الزمنية للطاقة.
• التيار الكهربائي هو المشتقة الزمنية للشحنة الكهربائية.
• وهكذا.

وفي هذا السياق، المشتقات الزمنية مفهوم أساسي في الفيزياء. فمثلًا، إذا كان موضعًا متغيرًا، فإن مشتقته الزمنية هي سرعته، ومشتقته الثانية بالنسبة إلى الزمن هي تسارعه. وتُستعمل أحيانًا مشتقات أعلى رتبة؛ فالمشتقة الثالثة للموضع بالنسبة إلى الزمن تُعرف بالرجفة.

كذلك، ومن الشائع في الفيزياء أخذ المشتقة الزمنية لمتجه، كالسرعة أو الإزاحة. وعند التعامل مع مثل هذه المشتقة قد يعتمد كل من المقدار والاتجاه على الزمن.

من جهة ثانية، وتتضمن أعداد كبيرة من المعادلات الأساسية في الفيزياء مشتقات زمنية أولى أو ثانية لكميات ما، كما أن كثيرًا من الكميات الأساسية الأخرى في العلوم هي مشتقات زمنية لبعضها:

مثال: الحركة الدائرية

إضافةً إلى ذلك، ومن ثم فسرعة الجسيم ليست صفرًا وإن كان مقدار متجه الموضع ثابتًا، كما أن السرعة عمودية على الموضع:

ويكون التسارع عندئذٍ المشتقة الزمنية للسرعة:

• ونفترض في هذا المثال أن θ = t، ومن ثم تكون الإزاحة (الموضع) عند أي لحظة t:
• وتُبقي هذه الصورة مقدار المتجه ثابتًا مساويًا r، إذ:
• باستعمال المتطابقة المثلثية ، حيث هو الجداء القياسي الإقليدي المعتاد.

من جهة ثانية، وبهذه الصورة للإزاحة تُوجد السرعة، فالمشتقة الزمنية لمتجه الإزاحة هي متجه السرعة. وعمومًا يكون مشتق متجه متجهًا مركباته مشتقات المركبات المقابلة في المتجه الأصلي، ومن ثم فمتجه السرعة هنا:

في هذا الإطار، والتسارع موجَّه إلى الداخل نحو محور الدوران، معاكسًا لمتجه الموضع وعموديًا على متجه السرعة، ويسمى التسارع الجاذب المركزي.

من جهة ثانية، لنعتبر مثلًا جسيمًا يتحرك في مسار دائري، فيُعطى موضعه بمتجه الإزاحة المرتبط بالزاوية θ وبالبعد القطري r كما هو مبين في الشكل:

في الهندسة التفاضلية

وبدلالة المشتقة المشاركة يكون:

من جهة ثانية، في الهندسة التفاضلية، كثيرًا ما يعبَّر عن الكميات بالنسبة إلى الأساس المشارك الموضعي ، حيث يمتد i على عدد الأبعاد. وتتحول مركبات متجه المعبَّر عنه على هذا النحو تحولَ موتر مناقض، كما يظهر في التعبير باستعمال اصطلاح الجمع لأينشتاين. وإذا أردنا حساب المشتقات الزمنية لهذه المركبات على نحو يستمر في إعطاء موترات مناقضة، كان:

وكذلك:

وعلى صعيد آخر، حيث يمثل (مع كون الإحداثي j) مركبات السرعة في الأساس المشارك الموضعي، و هي رموز كرستوفيل لجملة الإحداثيات. ويمكن عندئذٍ أن نكتب:

الترميز

إضافةً إلى ذلك، تُستعمل ترميزات شتى للدلالة على المشتقة الزمنية. فإضافةً إلى ترميز لايبنتس المعتاد:

من جانب آخر، وتُستعمل المشتقات الزمنية العليا كذلك، فتُكتب المشتقة الثانية بالنسبة إلى الزمن على الصورة:

يشيع في الفيزياء خاصةً ترميز مختصر يُعرف بالنقطة العلوية:

ويسمى هذا ترميز نيوتن.

• ويقابلها الاختصار .
• وتعميمًا لذلك، تُعرَّف المشتقة الزمنية لمتجه، مثل:
• بأنها المتجه الذي تكون مركباته مشتقات مركبات المتجه الأصلي، أي:

الاستعمال في الاقتصاد

• انظر كذلك
• حساب التفاضل
• حركة دائرية
• قوة جذب مركزي
• مشتقة مكانية

في هذا الإطار، تدفق الاستثمار الثابت الصافي هو المشتقة الزمنية لرصيد رأس المال.

• وقد تظهر أحيانًا المشتقة الزمنية لمتغير تدفق داخل نموذج ما:
• معدل نمو الناتج هو المشتقة الزمنية لتدفق الناتج مقسومة على الناتج نفسه.
• معدل نمو قوة العمل هو المشتقة الزمنية لقوة العمل مقسومة على قوة العمل نفسها.

من جانب آخر، تدفق الاستثمار في المخزون هو المشتقة الزمنية لرصيد المخزونات.

علاوةً على ذلك، وأحيانًا تظهر المشتقة الزمنية لمتغير لا يقاس بوحدات نقدية، بخلاف الأمثلة السابقة:

ومن جهة أخرى، معدل التضخم هو معدل نمو مستوى الأسعار، أي المشتقة الزمنية لمستوى الأسعار مقسومة على مستوى الأسعار نفسه.

علاوةً على ذلك، معدل نمو المعروض النقدي هو المشتقة الزمنية للمعروض النقدي مقسومة على المعروض النقدي نفسه.

قد تظهر المشتقة الزمنية لسعر فائدة رئيسي.

علاوةً على ذلك، في علم الاقتصاد تُبنى نماذج نظرية كثيرة لتطور المتغيرات الاقتصادية في زمن متصل، ومن ثم تستعمل المشتقات الزمنية. ومن الحالات الشائعة أن يكون لدينا متغير مخزون ومشتقته الزمنية، وهي متغير تدفق. ومن الأمثلة على ذلك: