مشتق ثاني

تعميم

• مراجع
• انظر كذلك
• تفاضل

إضافةً إلى ذلك، بالنسبة للدالة ذو متغيرات ، يجب الأخد في الاعتبار الحالات الممكنة اعتمادا على المتغيرات. ثم يُعبر عن النتيجة في شكل مصفوفة هيسية.

دالة لا تقبل مشتقة ثانية

ومن جهة أخرى، المشتقة العكسية للدالة المستمرة غير القابلة للإشتقاق هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق، ولكنها لا تقبل مشتقة ثانية عند النقاط التي تكون فيها الدالة الأولية غير قابلة للاشتقاق؛ هذه هي حالة المشتقة العكسية للمشتقة العكسية لدالة غير مستمرة ولكن محدودة.

وفي هذا السياق، الدوال الغير القابلة للاشتقاق عند نقطة ما لا تقبل مشتقة ثانية؛ وبالتحديد الدوال الغير المستمرة عند نقطة ما.

• مثلاً، الدالة تشير:
• بالنسبة للمشتقة العكسية الثانية:
• هذا المشتقة العكسية الثانية لا تقبل مشتقة ثانية عند 0.

في هذا الإطار، ومن الأمثلة الأخرى المشتقة العكسية للموجة المثلثية (مسننة)، والمشتقة العكسية المزدوجة للموجة المربعة، والمشتقة العكسية المزدوجة لدالة الجزء الصحيح.

دالة تتكون من متغير حقيقي واحد

إضافةً إلى ذلك، إذا كانت الدالة تقبل مشتقة ثانية، فإنها من الصنف D2؛ إضافة إذا كانت هذه المشتقة الثانية مستمرة، فإن الدالة من الصنف C 2.

تُدوَّن المشتقة بـ أو

تُدوَّن المشتقة الثانية بـ ( الثانية) أو .

تدوين

إذا دَوَّنَّا كدالة، إذن:

التمثيل المبياني

ومن جهة أخرى، تتيح هذه القيم كذلك تقديم تفاصيل حول الحدود القصوى المحلية التي تتميز بانعدام المشتقة عند نقطة ما :

• إذا و ، لديها حد أقصى محلي عند :
• إذا و ، لديها حد أدنى محلي عند :
• إذا و ، لا يمكننا أن نستنتج.

ومن ناحية أخرى، تشير المشتقة الثانية إلى التغير في ميل المنحنى التمثيلي ويُمكن من قياس تقعر المنحنى. فإذا كانت موجبة في مجال ما، يزداد الميل، ويتجه الانحناء إلى الأعلى، وتسمى هذه الدالة ب "دالة محدبة" خلال هذا المجال. إذا كانت سالبة على مجال ما، يقل الميل، ويتجه الانحناء إلى الأسفل، وتسمى هذه الدالة ب "دالة مقعرة" خلال هذا المجال. وإذا كانت منعدمة، يكون المنحنى مستقيمًا محليًا. إذا المشتقة الثانية انعدمت وتغيرت الإشارة، لدينا نقطة انعطاف، وينعكس انحناء المنحنى.