مشكلة فيرمي

التفسير

ومن جهة أخرى، تعمل تقديرات فيرمي بشكل عام لأن تقديرات المصطلحات الفردية غالباً ما تكون قريبة من الصحيح، كما أن المبالغة في تقديرها والتقليل من قيمتها يساعد في إلغاء بعضها البعض. بمعنى أنه إذا لم يكن هناك تحيز ثابت، فإن حساب فيرمي الذي يتضمن مضاعفة الكثير من العوامل المقدرة (مثل عدد ضباط إيقاع البيانو في شيكاغو) سيكون على الأرجح أكثر دقة مما قد يُفترض أولاً.

• انظر كذلك
• تقدير الموضع
• الكشف عن مجريات الأمور
• درجة التقريب
• معادلة دريك
• الملاحظات والمراجع

كذلك، مثلًا، إذا أجرينا تقدير فيرمي مؤلفًا من 9 خطوات، في كل خطوة نبالغ في تقدير أو تقليل الرقم الصحيح بعامل 2 (أو مع الانحراف المعياري 2)، بعد 9 خطوات، يكون الخطأ القياسي قد نما بعامل لوغاريتمي من √9 = 3، إذن 23 = 8. وهكذا يتوقع أن يكون في حدود 1⁄8 إلى 8 مرات القيمة الصحيحة – في القيمة الأسية وأقل بكثير من أسوأ حالة من المخطئين بمعامل 29 = 512 (نحو 2.71 من حيث الحجم). إذا كان أحد لديه سلسلة أقصر أو تقديرات أكثر دقة من التقديرات الإجمالية سوف تكون في المقابل أفضل.

من جانب آخر، في التفاصيل، يضاهي ضرب التقديرات إضافة اللوغاريتمات الخاصة بهم؛ وبالتالي يحصل المرء على نوع من عملية وينر أو السير العشوائي على مقياس لوغاريتمي، الذي ينشر كـ √n (في عدد المصطلحات n). وبعبارات منفصلة، فإن عدد المبالغة في تقدير القيمة ناقصًا سيكون توزيع ذات الحدين. بالمصطلحات المستمرة، إذا قام المرء بعمل تقدير فيرمي للخطوات n، مع وحدات الانحراف المعياري σ على مقياس اللوغاريتم من القيمة الفعلية، فإن التقدير العام سيكون له انحراف معياري ∑ √n, لأن الانحراف المعياري لمقياس مجموع كـ √n في عدد من الامتحانات.

المزيد من القراءة

من جهة ثانية، أمر من حجم الفيزياء تدرس من قبل ستيرل فينّي وبيتر غولدريتش في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا.

وفي السياق ذاته، 6.055J / 2.038J فن التقريب في العلوم والهندسة تدرس من قبل سانجوي ماهاجان في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (MIT).

وفي هذا الصدد، هناك عدد من الدورات الدراسية على المستوى الجامعي المخصصة لتقدير وحل مشاكل فيرمي. تعد المواد المستعملة في هذه الدورات مصدرًا جيدًا لأمثلة إضافية عن مشكلة فيرمي ومواد حول  أستراتيجيات الحل

من جانب آخر، الفصل 2: الاكتشافات على ظهر مغلف من حدود العلم: العلم عادات العقل تدرس من قبل ديفيد هيلفاند في جامعة كولومبيا

من جهة ثانية، الفيزياء على ظهر مغلف تدرس من قبل لورانس اينشتاين في جامعة أولد دومينيون.

الخلفية التاريخية

في هذا الإطار، ومن الأمثلة على ذلك تقدير إنريكو فيرمي لقوة القنبلة الذرية التي انفجرت عند اختبار ترينيتي، استناداً إلى المسافة المقطوعة بواسطة قطع من الورق أسقطها من يده أثناء الأنفجار.  وكان تقدير فيرمي البالغ 10 كيلوطن من مادة تي إن تي قريبًا بشكل ملحوظ من القيمة المقبولة الآن والتي تبلغ نحو 20 كيلو طن.

بالتقسيم يعطي

في هذا الإطار، ومن الأمثلة الشهيرة لتقدير مشكلة فيرمي، معادلة دريك، التي تسعى لتقدير عدد الحضارات الذكية في المجرة. السؤال الأساسي لماذا، إذا كان هناك عدد كبير من هذه الحضارات، لم يسبق لنا أن واجهنا أي شخص آخر يسمى مفارقة فيرمي.

إضافةً إلى ذلك، (225,000 بيانو يضبط سنوياً في شيكاغو) ÷ (1000 بيانو يضبط في السنة لكل بيانو) = 225 ضباط إيقاع البيانو في شيكاغو.

وفي السياق ذاته، في سنة 2009، كان العدد الفعلي لضباط إيقاع البيانو في شيكاغو قرابة 290.

مزايا ونطاق

ومن جهة أخرى، غالبًا ما يبحث العلماء عن تقديرات فيرمي لإجابة المشكلة قبل الأنتقال إلى أساليب أكثر تطوراً لحساب إجابة دقيقة. هذا يوفر شيك مفيد للنتائج. في حين أن التقدير يكاد يكون غير صحيح بالتأكيد، فهو كذلك حساب بسيط يسمح بفحص الأخطاء بسهولة، وإيجاد افتراضات خاطئة إذا كان الرقم الناتج أكبر بكثير مما نتوقعه بشكل معقول. وعلى النقيض من ذلك، يمكن أن تكون الحسابات الدقيقة معقدة للغاية ولكن مع توقع أن الإجابة التي تنتجها صحيحة. يمكن أن يؤدي العدد الأكبر من العوامل والعمليات المعنية إلى حدوث خطأ كبير جدًا، سواء في العملية الرياضية أو في الافتراضات التي تعتمد عليها المعادلة، ولكن قد يتم افتراض أن النتيجة صحيحة لأنها مشتقة من صيغة دقيقة من المتوقع أن تسفر عن نتائج جيدة. وبدون وجود إطار مرجعي معقول للعمل منه، فإنه نادراً ما يكون واضحاً إذا كانت النتيجة دقيقة بشكل مقبول أو كانت درجات كثيرة (عشرات أو مئات المرات) كبيرة جداً أو صغيرة جداً. يعطي تقدير فيرمي طريقة سريعة وبسيطة للحصول على هذا الإطار المرجعي لما يمكن توقعه بشكل معقول ليكون الجواب، مع إعطاء سياق للنتائج.

من جهة ثانية، تقديرات فيرمي مفيدة كذلك في الاقتراب من المشاكل حيث يعتمد الأختيار الأمثل لطريقة الحساب على الحجم المتوقع للإجابة. مثلًا، قد يشير تقدير فيرمي إلى ما إذا كانت الإجهادات الداخلية للهيكل منخفضة بدرجة كافية بحيث يمكن وصفها بدقة بواسطة مرونة خطية؛ أو إذا كانت التقديرات تحمل بالفعل علاقة كبيرة في المقياس بالنسبة إلى بعض القيم الأخرى، مثلًا، إذا كان الهيكل سيتم هندسته بشكل مفرط ليتحمل الأحمال بعدة مرات أكبر من التقدير.

وفي السياق ذاته، طالما أن الافتراضات الأولية في التقدير هي كميات معقولة، فإن النتيجة التي يتم الحصول عليها سوف تعطي إجابة ضمن نفس المقياس كالنتيجة الصحيحة، وإذا لم توفر قاعدة لفهم سبب ذلك. مثلًا، إذا كان التقدير يخبرك أنه يجب أن يكون هناك مئة أو أكثر من الضباط، لكن الإجابة الدقيقة تخبرك بوجود آلاف كثيرة، ثم تعرف أنك بحاجة لمعرفة سبب وجود هذا الأختلاف عن النتيجة المتوقعة. أولاً نبحث عن الأخطاء، ثم العوامل التي لم نأخذها بعين الأعتبار - هل لدى شيكاغو عدد من مدارس الموسيقى أو أماكن أخرى بها نسبة عالية بشكل غير متناسب من البيانو للناس؟ سواء كان ذلك قريبًا أو بعيدًا جدًا من النتائج الملحوظة، فإن السياق الذي يقدمه التقدير يعطي معلومات مفيدة عن عملية الحساب والأفتراضات التي تم أستخدامها للنظر في المشكلات.

من جانب آخر، على الرغم من أن حسابات فيرمي غير دقيقة في كثير من الأحيان، حيث قد تكون هناك الكثير من المشاكل في أفتراضاتهم، فإن هذا النوع من التحليل يخبرنا ما الذي نبحث عنه للحصول على إجابة أفضل. بالنسبة إلى المثال أعلاه، قد نحاول العثور على تقدير أفضل لعدد البيانو الذي يتم ضبطهم بواسطة ضابط إيقاع البيانو في يوم عادي، أو البحث عن رقم دقيق لسكان شيكاغو. كما يعطينا تقديرًا تقريبيًا قد يكون جيدًا بما يكفي لبعض الأغراض: إذا أردنا بدء متجر في شيكاغو يبيع معدات ضبط البيانو، ونحسب أننا بحاجة إلى 10 آلاف عميل محتمل للبقاء في العمل، يمكننا افتراض ذلك بشكل معقول التقديرات أعلاه هي أقل بكثير من 10.000، يجب أن نضع في الأعتبار خطة عمل مختلفة (ومع المزيد من العمل، يمكننا حساب الحد الأعلى التقريبي لعدد ضباط إيقاع البيانو من خلال مراعاة أكثر القيم المعقدة التي يمكن أن تظهر في كل من أفتراضاتنا).

أمثلة

ومن ناحية أخرى، يستغرق ضبط البيانو قرابة ساعتين بالنسبة إلى ضابط الإيقاع، بما في ذلك وقت السفر.

وفي السياق ذاته، البيانو التي يتم ضبطها بشكل منتظم يتم ضبطها في المتوسط قرابة مرة واحدة في السنة.

وفي هذا السياق، من هذه الافتراضات، يمكننا حساب عدد توليفات البيانو في السنة الواحدة في شيكاغو

• هناك ما يقرب من 9,000,000 شخص يعيشون في منطقة شيكاغو الحضرية.
• في المتوسط، يوجد شخصان في كل منزل في شيكاغو.
• ما يقرب من منزل واحد من عشرين لديه بيانو يتم ضبطه بأنتظام.

إضافةً إلى ذلك، يعمل كل ضابط الإيقاع ثماني ساعات في اليوم وخمسة أيام في الأسبوع و 50 أسبوعًا في السنة.

علاوةً على ذلك، مثال على نوع من المشكلات، التي تنسب عموماً إلى فيرمي، هو "كم عدد ضباط ايقاع البيانو في شيكاغو?" يتضمن الحل النموذجي لهذه المشكلة ضرب سلسلة من التقديرات التي تعطي الإجابة الصحيحة إذا كانت التقديرات صحيحة. مثلًا، قد نضع الافتراضات التالية:

ومن ناحية أخرى، (9,000,000 شخص في شيكاغو) ÷ (2 شخص / أسرة) × (1 بيانو / 20 أسرة) × (1 ضبط بيانو لكل بيانو في السنة) = 225,000 بيانو يضبط سنوياً في شيكاغو.

يمكننا وبالمثل حساب متوسط ضباط إيقاع البيانو

إضافةً إلى ذلك، (50 أسبوعا في السنة) × (5 أيام/الأسبوع) × (8 ساعات/يوم) ÷ (2 ساعة لضبط البيانو) = 1000 بيانو يضبط في السنة.