مصباح تومسون

تشبيه المتسلسلات الرياضية

س = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

ومن جهة أخرى، بالنسبة للقيم الزوجية لـ n، مجموع المتسلسلة المنتهية أعلاه يساوي 1؛ وبالنسبة للقيم الفردية، مجموعها يساوي 0. بعبارة أخرى، بما أن n يأخذ قيم كل من الأعداد الصحيحة غير السلبية 0، 1، 2، 3، ... في المقابل، تولد السلسلة المتتالية {1، 0، 1، 0، ...}، الذي يمثل الحالة المتغيرة للمصباح. لا يتقارب التسلسل عندما يتجه n إلى اللانهاية، وبالتالي فإن السلسلة اللانهائية لا تتقارب كذلك.

في هذا الإطار، أحد أهداف تومسون في بحثه الأصلي عام 1954 هو التمييز بين المهام الفائقة ونظائرها المتسلسلة. يكتب عن المصباح وسلسلة غراندي،

إضافةً إلى ذلك، وفي وقت لاحق، يزعم أن حتى تباعد السلسلة لا يوفر معلومات حول مهمتها العظمى: "إن استحالة المهمة العظمى لا تعتمد على الإطلاق على ما إذا كانت بعض التسلسلات الحسابية المرتبطة بشكل غامض متقاربة أو متباعدة."

س = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)

هناك طريقة أخرى لتوضيح هذه المشكلة وهي إعادة ترتيب السلسلة:

وفي هذا الصدد، السؤال يتعلق بسلوك سلسلة غراندي، أي السلسلة اللانهائية المتباعدة

وفي السياق ذاته، السلسلة التي لا تنتهي بين قوسين هي نفسها السلسلة الأصلية س. وهذا يعني أن س = 1 − س ، مما يعني أن س = 0.5. في الواقع، يمكن تبرير هذا التلاعب بشكل صارم: هناك تعريفات معممة لمجموعات السلاسل التي تعين لسلسلة غراندي القيمة 0.5.

• انظر كذلك
• قائمة المفارقات
• مفارقة روس-ليتلوود
• مفارقات زينون
• آلة زينون
• ملحوظات