معادلة أبيل

قديما، كان الشكل العام للمعادلة

يتعامل مع متغير واحد وتقدم تحليل خاص لها.

في حالة دالة التحويل الخطي، تكون الحلول حلول تقريبة.

الحلول

• الحل الرسمي: حل وحيد.
• الحلول التحليلية: حلول تقريبية.
• انظر كذلك
• الدوال والثوابت الرياضية
• معادلة دالية
• معادلة شرونجر

المعادلة المكافئة

وفي هذا الصدد، هاتان المعادلتان متكافئتان. بفرض أن هي دالة عكسية، يمكن كتابه المعادلة الثانية بالصورة التالية:

حالة خاصة

ومنها

ومن ناحية أخرى، تعتبر معادلة التكرار الأسي الرابع السالب هي حالة خاصة من حالات معادلة أبيل حيث ..

في حالة التكرار يتم كتابة المعادلة بالصورة التالية:

وبأخذ يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي

وفي هذا الصدد، للدالة ، بفرض أنها دالة معرفة يكون المطلوب هو حل المعادلة الدالية للدالة ، بحيث تحقق متطلبات أخرى مثل .

• عند حدوث تغير كالتالي ، لمعامل حقيقي ، تعمل معادلة أبيل كمعادلة شرودنجر .
• أما عند حدوث تغير كالتالي تعمل المعادلة كمعادلة بوتشر ..
• تعتبر معادلة أبيل حالة خاصة لمعادلات التحويل:
• .     (لاحظ أن .
• التاريخ