معضلة بازل

نهج أويلر

وفي هذا السياق، لمتابعة برهان أويلر، تُستحضر أولًا متسلسلة تايلور مطبقة على دالة الجيب

من جهة ثانية، وبالطبع، تطلب منطق أويلر في الحل تبريرًا (بعد 100 عام، أثبت كارل ويرستراس أن تمثيل أويلر لدالة الجيب متسلسلةً لا نهائية كان صحيحًا، من خلال مبرهنة ويرستراس في التحليل إلى عوامل). لكن حتى من دون مبرر، بفضل الوصول إلى القيمة الصحيحة، والتي تم التأكد منها من خلال جمع حدود منتهية من المتسلسلة. هذا التوافق بين نتيجة أويلر وحاصل جمع تلك الحدود أعطى أويلر ثقة كافية لإعلان نتائجه للمجتمع الرياضي.

وفي هذا الصدد، تحديد أويلر ل مبني على الدراسة الدقيقة لسلوك كثيرات الحدود المنتهية وافتراض أن خصائصها تنطبق على المتسلسلات اللا نهائية.

و

• وهذا ينهي البرهان.
• دليل قاطع آخر باستخدام متطابقة برسفال
• التعميمات وعلاقات التكرار
• برهان كوشي
• تاريخ البرهان

إذن،

البرهان

• يعتمد هذا البرهان على المتراجحة التالية:
• بقلب حدود هذه المتراجحة وحساب مربعاتهن، يحصل على ما يلي:
• حيث هي دالة الظل التمام و هي دالة القاطع التمام.

• متطابقات أخرى
• التمثيل بالمتسلسلات
• التمثيل بالتكامل
• الكسور المستمرة
• طالِع كذلك
• دالة زيتا لريمان
• ثابتة أبيري

علاوةً على ذلك، يتمثل هذا البرهان في الحصول على متسلسة أصغر من مجموع مربعات مقلوبات الأعداد الطبيعية باستعمال هذه الصيغة المثلثية، تؤول إلى ، والحصول على متسلسلة ثانية أكبر من مجموع مربعات مقلوبات الأعداد الطبيعية تؤول إلى ، هي الأخرى.

دالة زيتا لريمان

ومن ناحية أخرى، يمكن البرهان كذلك على أن ل تعبيرا بسيطا مستعملا أعداد برنولي كلما كان يساوي عددا صحيحا طبيعيا زوجيا. إذا كان فإن :

يمكن البرهان على تقارب هذه المتسلسلة من خلال ما يلي

وفي السياق ذاته، إذا كان المتغير s مساويا لاثنين، فإنه يتبين أن يساوي مجموع مقلوبات مربعات جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية :

وفي هذا الصدد، دالة زيتا لريمان هي واحدة من أهم الدوال في الرياضيات نظرا لعلاقتها بتوزيع الأعداد الأولية. تعرف دالة زيتا لريمان عند كل عدد عقدي s جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الواحد بالصيغة التالية:

دليل قاطع باستخدام متسلسلة فورييه

• استعمل متطابقة بارسيفال (مطبقةً على الدالة ) من أجل الحصول على ما يلي:
• حيث
• for , and . Thus,

قسّم الطرفين على

عواقب برهان أويلر

من جهة ثانية، باستخدام مبرهنة ويرستراس في التحليل إلى عوامل، يُستنتج أن الجانب الأيسر هو حاصل ضرب العوامل الخطية بحلولها، كما نفعل لكثيرات الحدود المنتهية (والذي افترضه أويلر مساعدا لتوسيع درجة كثيرة الحدود اللا نهائية من حيث حلولها، ولكنه بشكل عام ليس دائمًا صحيحًا لكل )

والآن بضرب كِلا الطرفين بـ−2 سنحصل على ناتج هذه المسألة

علاوةً على ذلك، لو ضربنا كل حدود وجمعناهم في جهة (يمكن فعل ذلك، حسب متطابقات نيوتن) سنرى بالاستقراء بأن معامل لـ هو:

وعلى صعيد آخر، تعميم طريقة أويلر باستخدام كثيرات الحدود الابتدائية المتماثلة

من جهة ثانية، ولكن من متسلسلة الجيب الأصلية معامل هو ، وعليه فيجب أن يكون هذان المعاملان متساويين، وهكذا:

ومن جهة أخرى، طريقة حساب مُفصّلة بطريقة مميزة في كتاب جاما هافل والذي يُورد الكثير من تفاصيل دالة زيتا، والمتسلسلات المتعلقة باللوغارتمات، والتكامل، بالإضافة للمنظور التاريخي المرتبط بثابت أويلر جاما.