منحنى بيزيه

منحنى بيزيه من الدرجة الثالثة

وفي هذا السياق، في منحنى بيزيه كلما زادت الدرجة كلما زاد عدد النقاط المتوسطة التي نحتاجها. ففي المنحنى من الدرجة الثالثة نحتاج إلى ثلاث نقاط متوسطة Q0 و Q1 و Q2, والتي تصف منحنى بيزيه الخطي لهذا الشكل، وكذلك نحتاج إلى نقطتي R0 و R1 لتصف منحنى بيزيه من الدرجة الثانية لهذا الشكل وفي الاخير نضع (B(t على الخط الواصل بين R0 و R1.

الرسوم الحاسوبية

الرسوم المتحركة (تحريك)

وفي هذا الصدد، المنحنى يقع بشكل كلي داخل الإنغلاق المحدب للنقاط، لذلك يتم استخدام هذه النقاط بكل سهولة

علاوةً على ذلك، يمكن تطبيق التحويل التآلفي (مثل الدوران والإنزلاق) على المنحنى من خلال تطبيق هذا التحويل على نقاط التحكم لهذا المنحنى.

من جهة ثانية، في تطبيقات الرسوم المتحركة مثل ادوب فلاش أدوبي فلاش و يتم استخدام منحنيات بيزيه في الرسم

• مثل رسم الصور المتحركة. حيث يقوم المستعمل برسم المسار باستخدام منحنى بيزيه,
• ويتولى التطبيق مهمة التحضير لحركة هذا العنصر على طول المسار المرسوم مسبقاً.
• وكذلك في الرسوم الثلاثية الأبعاد يتولى منحنى بيزيه رسم المسارات ثلاثية الأبعاد.

لتشكيل المنحنى المطلوب.

علاوةً على ذلك، تستعمل منحنيات بيزيه بشكل واسع في الرسومات الحاسوبية من أجل رسم منحنيات ناعمة وسلسة.

منحنى بيزيه من الدرجة الخامسة

يتم إنتاجه بطريقة مشابهة للمنحنيات السابقة.

وعلى صعيد آخر، لاحظ ان الفكرة في التوصل إلى رسم منحنى بيزيه، هي ان نقسم كل خط بوضع نقطة عليه ومن ثم نربط النقاط الجديدة مع بعضها البعض (لاحظ اننا نتخلص من نقطة في كل مرحلة), ونكرر العملية حتى يتبقى عندنا خط واحد فقط فنضع عليه (B(t ومن ثم نرسم المنحنى.

منحنيات بيزيه الحقيقية

علاوةً على ذلك، و يمكن استخدامها في تمثيل اجزاء من قطع مخروطية بدقة، بما في ذلك اقواس دائرية(انظر الصورة الجانبية).

إضافةً إلى ذلك، البسط هو نموذج بيرنشتاين لمنحنى بيزيه ويكون مصحوبا بالاوزان، اما المقام فهو المجموع المصحوب بالاوزان ل متعددة الحدود لبيرنشتاين, حيث يتم تمثيل المعادلة بالشكل التالي:

من جانب آخر، يمكن اعتبار منحينات بيزيه الحقيقية مثل منحنيات بيزيه، الا ان الفرق بينهم هو وجود اوزان في منحنيات بيزيه الحقيقية، حيث يتم تزويد النقاط باوزان تؤثر على شكل المنحنى النهائي من اجل رسم الكثير من النماذج .

أو بطريقة أبسط:

معادلة منحنى بيزيه

حيث أن e هو المعامل الثنائي.

وفي السياق ذاته، من الممكن وصف منحنى بيزيه من الدرجة n على الشكل التالي. من أجل مجموعة نقاط P0, P1,..., Pn، فإن منحنى بيزيه يعطى بالعلاقة :

مثال

من أجل n = 5 يكون منحنى بيزيه بالشكل :

طريقة رسم منحنى بيزيه

الإنشاء الهندسي التركيبي لمنحنى بيزيه

• هذا الشبكة من الخطوط المتقاطعة تولّد هندسيا غلافا مماسيا لمنحنى بيزيه.
• ولزيادة دقة المنحنى، يمكن أخذ المضلعات الجديدة وتكرار الخطوات السابقة عليها.
• انظر كذلك
• خوارزمية دوكاستلجو
• منحنى هيرميت
• نموذج نيربس
• مراجع

ومن جهة أخرى، يعتمد الإنشاء الهندسي لمنحنى بيزيه (Bézier) ببساطة على التقسيم التناسبي للخطوط المتتالية. حيث نقوم ببساطة بتقسيم الأضلاع الأساسية إلى عدد متساو من الأجزاء باستخدام سلسلة من النقاط المرتبة والمرقمة بشكل مستمر ومتتال على طول المسار بأكمله. لاحقًا، نصل بالترتيب بين النقاط المتطابقة بين المضلعات المتتالية: النقطة الأولى من الضلع الأول مع النقطة الأولى من الضلع الثاني، والنقطة الثانية مع الثانية، وهكذا تباعا.

رسم الحروف

في هذا الإطار، يستعمل منحنى بيزيه في رسم الحروف على جهاز الحاسوب، وكذلك أنظمة التصوير الحديثة مثل بوست سكريبت وSVG تستعمل منحنيات بيزيه من أجل رسم الأشكال المنحنية.

منحنى بيزيه من الدرجة الرابعة

• نحتاج إلى النقاط التالية:
• 4 نقاط لتصف المنحنى الخطي.
• 3 نقاط لتصف المنحنى من الدرجة الثانية.
• نقطتين لتصف المنحنى من الدرجة الثالثة.
• النقطة (B(t والتي تقع على S0 و S1 ومن ثم نرسم المنحنى.

منحنى من الدرجة الثانية

منحنيات ذات مستوى عالٍ

من جانب آخر، النقطة الثانية (Q1(t تقع بين P1 و P2 وتصف منحنى بيزيه الخطي على هاتين النقطتين.

من جهة ثانية، النقطة الأولى (Q0(t تقع بين P0 و P1 وتصف منحنى بيزيه الخطي بين هاتين النقطتين.

وفي السياق ذاته، في منحنى بيزيه من الدرجة الثانية نستطيع ان ننشئ نقاط متوسطة مثل Q0 و Q1. وهذه النقاط تحمل قيمة تقع في الفترة [1,0]:

علاوةً على ذلك، النقطة (B(t تقع على الخط الواصل بين النقطتين (Q0(t و (Q1(t وتصف منحنى بيزيه من الدرجة الثانية.

وفي السياق ذاته، انظر للرسمة الجانبية التي توضح ذلك. لاحظ اننا رسمنا خط افتراضي بين (Q0(t و (Q1(t ووضعنا (B(t عليه، وبالتالي تكون النقطة B هي نتيجة الرسم ومن ثم نصل نقطة البداية مع B ثم مع نقطة النهاية فينتج لدينا المنحنى المطلوب.

منحنى خطي

إضافةً إلى ذلك، فمثلاً عندما تكون t=0.25 فان (B(t تكون هي الربع الأول من المسافة الواصلة بين P0 و P1.

كذلك، في الرسمة الجانبية تتغير t بين القيمتين 0 و 1, بينما تصف (B(t الخط المستقيم الواقع بين P0 و P1.

وفي هذا الصدد، تستعمل t في اقتران المنحنى الخطي للتعبير عن بعد (B(t على الخط الواقع بين النقطتين P0 وP1.

على شكل متعددات الحدود

انظر إلى متعددة الحدود لبيرنشتاين.