منحني بيانو

البناء التحليلي

وفي السياق ذاته، في مقالته لسنة 1890، اقترح بيانو بناء تحليلي للمنحنى يقضي بإيجاد بدالة متصلة وشمولية منطلقها مجال الوحدة ومستقرها تربط كل بنقطة .

• التطبيق المعرف للمنحنى يحقق ملء الفضاء الداخلي لمربع الوحدة : بحيث
• إذا كان زوجيا و إذا كان فرديا.
• إذا كان زوجيا و إذا كان فرديا.

إضافةً إلى ذلك، اعتمد بيانو على خاصية إمكانية تطوير أي عدد حقيقي وفق نظام العد الثلاثي. كل يمكن كتابته : بحيث هي متتالية الكتابة وفق العد الثلاثي ل .

من جانب آخر، وهكذا، بالنسبة لكل ، إذا كانت متتالية مربعات متتابعة تؤول مساحة كل واحد منها إلى 0، فتقاطع المربعات يؤول إلى نقطة تنتمي إلى منحنى بيانو. المنحنى المعرف مستمر وكثيف داخل مربع الوحدة .

امتدادات

ومن ناحية أخرى، تم اقتراح منحنيات أخرى لاحقًا من أهمها منحنى هيلبرت (1891) ومنحنى لوبيغ (1904) ومنحنى سيربينسكي (1912)، وكان آخر الاقتراحات المهمة تلك التي طورها الرياضياتي النمساوي والتر ووندرليتش سنة 1973.

تعريف

وفي هذا الصدد، في المرحلة الثانية، يتم تقسيم كل مربع صغير من المربعات التسع (المستوى الأول) إلى تسع مربعات صغرى (المستوى الثاني). يتم ترقيمها بطريقة يكون فيها كل مربعين متتابعين من المستوى الثاني لهما ضلع مشترك، ويكون آخر مربع صغير من المستوى الثاني (داخل مربع من المستوى الأول) له ضلع مشترك مع أول مربع صغير في المربع من المستوى الأول الموالي. يربط المنحنى بين مراكز المربعات باتباع ترتيبها.

وفي هذا السياق، يتم تكرار العملية إلى ما لانهاية عبر مستويات تقسيم إضافية يربط فيها المنحنى بين مراكز المربعات المقسمة.

إضافةً إلى ذلك، تعرف متاهة بيانو من الصنف الأول من الدرجة باتحاد جميع أضلاع المربعات المنشأة باستثناء الأضلاع المشتركة بين مربعين متتابعين (التي يقطعها منحنى بيانو من الدرجة ).

ومن ناحية أخرى، يعرف منحنى بيانو التقريبي من الصنف الأول من الدرجة بالخط المتكسر (أو المنحنى المضلعي Polygonal curve) الذي يصل بين المراكز المتتابعة للمربعات المنشأة.

عند درجة التكرار تشكل المربعات متتالية ضلعها يساوي .

يتم بناء منحنى بيانو عبر الخوارزمية التالية :

وفي هذا الصدد، في المرحلة الأولى، يتم تقسيم المربع إلى تسع مربعات متساوية المساحة. تكون المربعات مرقمة بطريقة يكون فيها لمربعين متتابعين ضلع مشترك، بدءا بالمربع الصغير السفلي الأيسر وانتهاء بالمربع العلوي الأيسر. يربط المحنى بين مراكز المربعات باتباع ترتيبها.