ناتج كسري
على سبيل التعريف، في الرياضيات، يُقصد بالناتج الكسري لـ فراغين محددين(أي الفراغات الطوبولوجية ذات نقاط القاعدة المعرفة) X وY حاصل قسمة فراغ الناتجX × Y عند تشابه المحددات (x, y0) ∼ (x0, y) لجميع حالات x ∈ X وy ∈ Y. ويشار إلى الناتج الكسري عادة بالصيغة X ∧ Y. ويعتمد الناتج الكسري على اختيار نقاط القاعدة (إلا إذا كانت كل من X وY قيمًا متجانسة). وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
وفي هذا السياق، يمكن للمرء تخيل النقطتين X وY وكأنهما تقبعان داخل X & Y باعتبارهما فراغين فرعيين X × {y0} و {x0} × Y. وهذه الفراغات الفرعية تتقاطع في نقطة واحدة وهي: (x0, y0)، وهي نقطة القاعدة لـ X & Y. لذلك، يمكن تحديد اتحاد تلك الفراغات الفرعية بمعرفة المجموع الوتدي X ∨ Y. وحينها يكون الناتج الكسري هو حاصل القسمة
إضافةً إلى ذلك، للناتج الكسري تطبيقات هامة في نظرية التماثل الطوبولوجي، والذي يُعتبر أحد فروع علم الطوبولوجيا الجبرية. ففي نظرية التماثل الطوبولوجي، حيث يعمل الفرد في أغلب الأحيان مع فئة مختلفة من الفراغات أكثر من العمل مع فئة كافة الفراغات الطوبولوجية. ويجب تعديل تعريف الناتج الكسري قليلًا في بعض من تلك الفئات. مثلًا، يكون الناتج الكسري لاثنين من مركبات CW هو مركب CW إذا ما استعمل ناتج المركبات في التعريف بدلًا من الناتج الطوبولوجي. ومن الضروري عمل تعديلات مماثلة في الفئات الأخرى.
العلاقة المتجاورة
وفي السياق ذاته، تجعل الدوال المتجاورة التماثل بين ناتج الموتر والناتج الكسري أكثر دقة. وفي فئة النماذج R على الحلقة التبديلية R، تُترك دالة التوتر (– ⊗R A) مجاورة لدالة التماثل الداخلي (A,–) بحيث:
وفي هذا السياق، حيث يكون عامل التماثل(A,Y) هو الفراغ لمخططات مستمرة القاعدة مع الفراغات المضغوطة والمفتوحة طوبولوجيا.
إضافةً إلى ذلك، ففي فئة الفراغات التي لها نقطة قاعدية، يلعب الناتج الكسري دور الناتج الموتر. خاصة، إذا كانت A تمثل فراغ هوسدورف المضغوط محليًا، فلهذا يتواجد التجاور
علاوةً على ذلك، على وجه الخصوص، مع اعتبار أن A تعد دائرة الوحدة S1، سنلاحظ ترك مدلل التعليق Σ متجاورًا مع مدلل الفراغ الحلقي Ω.
أمثلة
في هذا الإطار، الناتج الكسري لدائرتين هو حاصل حيد الشكل المتجانس بالنسبة لكلتا الكرتين.
من جهة ثانية، مضاعف k للتعليق المنخفض المتكرر لـ X هو شكل متجانس بالنسبة للناتج الكسري لكل من X والكرة k
وفي السياق ذاته، الناتج الكسري للفراغ X مع دائرة هو شكل متجانس بالنسبة إلى التعليق المنخفض لـ X:
كذلك، وفي نظرية المجال، يتم اتخاذ الناتج لاثنين من المجالات (بحيث يكون الناتج ملتزمًا بافتراضاته).
في هذا الإطار، الناتج الكسري لأي فراغ له نقطة قاعدية X وكرة صفرية هو شكل متجانس بالنسبة لـ X.
في هذا الإطار، وبشكل عام، فإن الناتج الكسري للشكلين الكرويين Sm وSn هو شكل متجانس بالنسبة للكرة Sm+n.
كناتج متماثل أحادي
وفي هذا السياق، مع ذلك، يفشل هذا بالنسبة للفئة البسيطة للفراغات التي لها نقاط قاعدية. انظر المناقشة التالية على موقع MathOverflow.
كذلك، لأية فراغات لها نقاط قاعدية X وY وZ في أية فئة مناسبة «متوافقة» (مثلًا، تلك الفراغات الناتجة من الضغط)، تكون هناك دوال هميومرفية محايدة (محتفظة بنقطة قاعدية).
من جهة ثانية، وتؤدي هذه التماثلات إلى خلق فئة من الفراغات المحددة الملائمة داخل فئة أحادية متماثلة مع الناتج الكسري كناتج أحادي إضافة إلى الكرة الصفرية التي لها نقطة قاعدية (فراغ ذو نقطتين منفصلتين) كوحدة الكائن. وبالتالي، يمكن تخيل الناتج الكسري كنوع من الناتج الموتر داخل أي فئة مناسبة لفراغات لها نقطة قاعدية.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟