نطاق مبسط
بدايةً، في علم الهندسة الرياضية والرياضيات التوافقية، يعد النطاق ذو البعد المبسط (أو التوافقي) عبارة عن مركب مبسط للدالة الهميومرفية الخاصة بـ بالنطاق ذي البعد النوني. وتنشأ بعض النطاقات المبسطة كحدود لمتعدد الرؤوس المحدب، غير أنه في الأبعاد العليا، لا يمكن الحصول على أغلب النطاقات المبسطة بهذه الطريقة. ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.
إضافةً إلى ذلك، وتكمن أهم مسألة معروضة في المجال في الحدس g، والتي قام بصياغتها بيتر ماكمولين، الذي يتساءل فيها عن الأعداد المحتملة لأوجه الأبعاد المختلفة للنطاق المبسط.
أمثلة
وفي السياق ذاته، يكون حد مجسم كثير السطوح ومحدب في R3 مع أوجه ثلاثية، مثل مجسم ثماني السطوح أو مجسم بعشرين سطحًا نطاق-2 المبسط.
وهذه البنية تنتج جميع الدورات المبسطة.
كذلك، وبشكل أكثر عمومية، يعد حدد أي بعد-(d+1) متراص (أو مجموعة محاطة) مبسطة متعددة الرؤوس المحدبة في الفضاء الإقليدي نطاقًا مبسطًا.
إضافةً إلى ذلك، بالنسبة لأي n ≥ 3، فإن دورة n البسيطة Cn تكون دورة مبسطة، مثل نطاق البعد المبسط 1.
الخصائص
ومن ناحية أخرى، الحدسg، الذي تمت صياغته من قبل مكمولين في 1970، يطرح توصيفًا كاملاً لعوامل الموجهات f للنطاقات d المبسطة. بعبارة أخرى، ما هي المتواليات الممكنة لعدد الأوجه لكل بعد لنطاق d المبسط؟ في حالة النطاقات المتعددة الرؤوس، يتم الرد من خلال نظرية g، التي تم إثباتها في سنة 1979 من خلال بيلارا ولي (الوجود) وستانلي (الضرورة). وتم استنتاج أن الحالات نفسها ضرورية للنطاقات المبسطة العامة. وتبلغ قيمة الحدس المفتوح لـ d 5 على الأقل (اعتبارًا من 2009).
من جهة ثانية، وقد أنشأ برانكو غرونباوم نموذجًا للنطاق المبسط غير المحدب. وأثبت جيل كالاي أن «أغلب» النطاقات المبسطة في الواقع غير محدبة. وأصغر نموذج يتمتع بالبعد d = 4 وفيه f0 = 8 قمم.
وعلى صعيد آخر، يُستنتج من صيغة أويلر أن أي نطاق-2 مبسط مع قمم n لديه 3n − 6 حافة و2n − 4 أوجه. ويتم الوصول إلى الحالة n = 4 بشكل هرمي. وعن طريق تكرار أداء التشعبات الباريسنترية، من السهولة تعيين نطاق لأي n ≥ 4. علاوة على ذلك، فقد قدم إرنست شتاينتز تشخيص 1-skeleta (أو مخططات الحافة) لمتعدد الرؤوس المحدب في R3؛ مما يعني أن أي نطاق-2 مبسط هو حد متعدد الروؤس المحدبة.
في هذا الإطار، ويعطي حدس الربط العلوي روابط عليا للأعداد fi للأوجه i لأي نطاق d مبسط مع كون f0 = n قمم. وتم إثبات هذا الحدس للنطاقات المتعددة الرؤوس من قبل بيتر ماكمولين في سنة 1970 ومن خلال ريتشارد ستانلي للنطاقات المبسطة العامة في سنة 1975.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟