نظرية غالوا

مقاربة عصرية من خلال نظرية الحقول

انظر إلى امتداد الحقول وإلى التماثلات الذاتية.

زمر قابلة للحلحة والحلحلة بالجذور

وفي هذا الصدد، يمكن مفهوم زمرة قابلة للحلحلة في نظرية الزمر من تحديد ما إذا كانت متعددة حدود ما قابلة للحلحلة بالجذور، من عدمه.

معضلة غالوا العكسية

المثال الأول: المعادلات التربيعية

ومن جهة أخرى، إذا أخذ مكان و مكان في هاتين المعادلتين، فإننا نحصل على معادلتين أخرتين، صحيحتين كذلك. مثلًا، المعادلة تصير .

علاوةً على ذلك، يُستنتج من ذلك أن زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود هي زمرة مكونة من تبديلتين اثنتين، أولاهما هي التبديلة المحايدة (التي تترك كل عنصر على حاله)، وثانيهما هي التبديلة التي تستبدل العنصر الأول بالثاني والثاني بالأول. هي زمرة دائرية درجتها اثنان. هي إذن زمرة مساوية الشكل ل .

انظر إلى متعددة حدود تماثلية وإلى تبديل دائري.

• لتكن المعادلة التربيعية التالية:
• باستعمال صيغة حلحلة المعادلات التربيعية، يحصل على ما يلي:
• الجذران و يحققان المعادلتين التاليتين:
• و:

التاريخ

انظر كذلك: جبر تجريدي.

في هذا الإطار، وثق هذه الصيغ عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت والذي عاش خلال القرن السادس عشر من خلال صيغه المعروفة باسم صيغ فييت، حين تكون هذه الجذور حقيقية وموجبة.

مقاربة إلى نظرية غالوا من خلال زمر التبديلات

علاوةً على ذلك، مثل المقال الذي كتبه عالم الرياضيات الفرنسي الإيطالي جوزيف لويس لاغرانج عام 1770، والذي يحمل عنوان تخمينات حول الحلحلة الجبرية للمعادلات خطوة إضافية.

وفي هذا السياق، تنبثق نظرية غالوا من دراسة الدوال التماثلية. معاملات متعددةٍ ما للحدود واحدية المدخل، هن متعددات تماثلية ابتدائية للحدود متغيراتهن هن جذور متعددة الحدود هذه. مثلًا، حيث 1 و a+b و ab هن ثلاث متعددات تماثلية للحدود من الدرجة الصفر والدرجة الأولى والدرجة الثانية، متغيراتها الاثنين هن a و b.

المثال الثاني: المعادلات الرباعية

زمرة غالوا تتكون من أربعة عناصر (أربعة تبديلات) هن:

والتي يمكن أن تكتب كذلك كما يلي:

إضافةً إلى ذلك، مثلًا، مجموع العنصرين الأول والأخير من مجموعة الجذور الأربعة، كما جئن في الترتيب أعلاه، يساوي الصفر. كذلك، مجموع العنصرين الثاني والثالث يساوي الصفر. هذا يقصي من زمرة غالوا التبديلة .

في هذا الإطار، هذا يعني أن زمرة غالوا هي زمرة متساوية الشكل مع زمرة كلاين رباعية العناصر.

كذلك، نحاول أن نصف زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود هذه، عبر مجموعة الأعداد الجذرية. لهذه المعادلة أربعة جذور هن:

لتكن المعادلة الرباعية التالية:

علاوةً على ذلك، هناك أربعة وعشرون تبديلة لهذه الجذور ، ولكن لسن كلهن أعضاء من زمرة غالوا (أي أن ليس كلهن ينتمين إلى زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود هذه).

التطبيق على المعضلات الاعتيادية

أي مضلع منتظم هو مضلع قابل للإنشاء ؟

في هذا الإطار، لماذا يستحيل تثليث الزاوية (قسمة الزاوية إلى ثلاث زوايا متساوية)، باستعمال الفرجار والمسطرة ؟

وعلى صعيد آخر، ميلاد نظرية غالوا استمد أصلا من السؤال التالي، والذي تجيب عليه مبرهنة أبيل-روفيني.

ومن ناحية أخرى، لماذا ليس هناك صيغة لجذور المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق، بدلالة معاملات هاته الحدوديات، باستعمال العمليات الجبرية الاعتيادية (الجمع والطرح والضرب والقسمة) وبتطبيق الجذور (أي الجذر المربع والجذر المكعب وما إلى ذلك).

ومن ناحية أخرى، كما تعطي نظرية غالوا نظرة واضحة حول المسائل المتعلقة بمعضلات إنشاءات الفرجار والمسطرة. إنها تحدد بشكل أنيق النسب بين أطوال القطع اللائي يمكن رسمهن باستعمال هذه الطريقة. وبذلك، يمكن الإجابة بشكل سهل عن بعض المعضلات الكلاسيكية في الهندسة الرياضية كما يلي:

وعلى صعيد آخر، ليس فقط نظرية غالوا تعطي جوابا جميلا لهذا السؤال، بل تفسر كذلك لماذا يمكن حلحلة المعادلات من الدرجة الرابعة فما أدنى بالطريقة المذكورة أعلاه، ولماذا هذه الحلول تأخذ الشكل الذي تأخذه. فضلًا عن ذلك، تعطي نظرية غالوا الوسائل الواضحة اللائي يمكنن من القول أن معادلة ما بشكل معين من درجة عالية يمكن أن تحلحل بالطريقة الموصوفة أعلاه.