نمو أسي

مثال 1 للدالة الأسية: حساب الفائدة المركبة

حيث المبلغ المتكون بعد عدد من السنوات.

من جانب آخر، حساب الفائدة المركبة، ولتكن 8 % في السنة لمبلغ نضعه في مصرف مثلا، تنطبق المعادلة الأسية التالية:

فإذا كان المبلغ الأولي €

أي يزداد رأس المال الموضوع ويصل إلى 199,90 € بعد 9 سنوات.

فيصبح بعد 9 سنوات:

و

• أو من الممكن أن تأخذ تلك المعادلة الشكل:
• حيث e ثابت رياضي:
• ونظرا لأن

وإذا وضعنا x = 3

أما، النمو الأسي:

علاوةً على ذلك، يمكن الحصول على المنحى الأزرق في الشكل باختيار قيمة معينة لـ x وقيم مختلفة للأس، مثلا بين 0 و 15 فينشأ المنحنى الأزرق.

نحصل على:

مثال 2: انتشار عدوى

من جانب آخر، نفترض ان عدوى تنتشر في مدينة بمعدل تضاعف عدد المصابين كل 3 أيام. فمثلا، إذا كان في المدينة 1000 شخص مصابون في الوقت 0، فإنه عدد المصابين يصبح 2000 شخصا بعد 3 أيام، ويصل إلى 4000 شخص مصاب بعد 6 أيام، وهكذا. أي أن عدد المصابين يزداد أسيا، ويمكن وصف ذلك بالمعادلة:

حيث:

بعد 27 يوم نحصل على الآتي:

كذلك، في مثالنا هذا اعتبرنا أن عدد سكان المدينة غير محدود، فيكون تزايد أنتقال العدوى كذلك بلا حدود. ولكن عنما يكون عدد سكان المدينة محدود يبدأ التزايد في البدء نموا أسيا ثم يميل إلى حالة تشبع، بمعنى أن يصل إلى عدد ثابت من المصابين وهو عدد السكان. الانتشار الذي ينتهي بحالة تشبع تسمى دالة لوجستية.

أي يصبح بعد 27 يوم من انتشار العدوى 512.000 شخصا مصابا.

هو عدد الأيام، و ،

دالة نمو أسي

• نفترض في الدالة الأسية أن القيمة تعتمد على الزمن .
• وصيغة الدالة تأخذ الشكل:
• حيث:

تكون القيمة هي القيمة الابتدائية عند الزمن

تصبح , وبالتالي , وهذه الحالة هي حالة نمو أسي.

إضمحلال أسي

وعلاقة τ ب كالآتي:

حيث:

N0 هي عدد الذرات المشعة N عند الزمن (t = 0).

وفي هذا الصدد، معادلة التحلل الإشعاعي هي مثال لـ لمعادلة الإضمحلال الأسي، وهي تشبه المعادلة السابقة التي تصف النمو الأسي، إلا أن يُضاف إليها في أس الثابت الرياضي e علامة الناقص (-)، كالأتي:

علاوةً على ذلك، وفي العادة يكون عدد ذرات العينة كبير جدا مقارب لعدد أفوجادرو بحيث يكون وصف تلك المعادلة لمعدل التحلل وصفا جيدا.

• مراجع
• انظر كذلك
• فائدة
• تكاثر الخلايا
• دالة لوجستية

من جهة ثانية، وتمثل الدالة الأسية لأساس الثابت الطبيعي e معدل التحلل في المعادلة الثانية.

كذلك، وتبين المعادلة N(t) أن ثابت التحلل λ له وحدة 1/الزمن، وبالتالي يمكن صيغتها في صورة τ حيث تـُعطي τ نصف العمر أو عمر النصف لتحلل العنصر (وهي خاصية طبيعية لكل عنصر مشع ـ وتختلف باختلاف العناصر؛ الفيزيائيون يعرفون أن نصف عمر العناصر المشعة يختلف بدرجة كبيرة من عنصر إلى عنصر، بعضها قد يكون جزءا من الثانية وبعضها يبلغ ملايين السنين.)