هندسة منتهية

المستويات المنتهية

من جانب آخر، يتألف المستوي التآلفي من مجموعة غير خالية من النقاط X مع مجموعة غير خالية من المستقيمات L وهي مجموعة جزئية من X، بحيث يتحقق ما يلي:

في هذا الإطار، هناك نوعان من المستويات المنتهية، تآلفي وإسقاطي. حيث من الممكن وصف هذين النوعين باستخدام بديهيات بسيطة.

من أجل أي نقطتين، هناك مستقيم واحد فقط يصل بينهما.

إن تقاطع أي مستقيمين يحوي على نقطة واحدة فقط.

وفي هذا الصدد، يتألف المستوي الإسقاطي الهندسي من مجموعة غير خالية من النقاط X مع مجموعة غير خالية من المستقيمات L وهي مجموعة جزئية من X، بحيث يتحقق ما يلي:

من جانب آخر، البديهية الأخيرة تعمل على أن لا تكون المجموعة خالية، بينما تحدد البديهيتان الأوليتان صفات الهندسة.

من جهة ثانية، تتحقق مسلمة التوازي من أجل كل مستقيم ونقطة ليست على هذا المستقيم.

مراجع

إضافةً إلى ذلك، بينما الشرط الثالث يتطلب وجود فقط أربع نقاط، إلا أن أبسط شكل للمستوي يجب أن يتضمن سبع نقاط كل نقطة منها تقع على ثلاث مستقيمات، وكل مستقيم يضم ثلاث نقاط. يدعى هذا المستوي باسم مستوي فانو.

من جانب آخر، من أجل أي نقطتين مختلفتين، يوجد فقط مستقيم واحد يحوي كلتا النقطتين.

وفي هذا الصدد، يوجد مجموعة من أربع نقاط، بحيث لا يكون ثلاثة من هذه النقاط ينتمي إلى ذات المستقيم.

وفي هذا السياق، يوجد مجموعة من أربع نقاط، بحيث لا يكون ثلاثة من هذه النقاط ينتمي إلى ذات المستقيم.

ومن ناحية أخرى، إذا تم إزالة أي من المستقيمات من هذا المستوي مع نقاطه، سينتج لدينا مستوي تآلفي من الدرجة الثانية. لذلك فإن مستوي فانو يدعي باسم المستوي الإسقاطي من الدرجة الثانية. وبشكل عام فإن المستوي الإسقاطي من الدرجة n يمتلك n2+n+ 1 نقطة، ونفس العدد من المستقيمات، كل مستقيم منها يحتوي n+1 نقطة، وكل نقطة n+1 مستقيم.

إضافةً إلى ذلك، أبسط شكل للمستوي التآلفي فيه 4 نقاط، ويسمى المستوي التآلفي من الدرجة الثانية. بما أنه لا يوجد أي ثلاث نقاط على مستقيم واحد، فإن كل نقطتين ستحددان مستقيما فيكون عدد المستقيمات 6. بشكل عام فإن مستوي تآلفي من الدرجة سيحتوي على نقطة و مستقيم، بحيث أن كل مستقيم يقع عليه نقطة، وكل نقطة تكون على مستقيم.