هيكل إجمالي

التعريف

• 3. الإغلاق ضمن المعكوسات إذا كانتE عضوًا في E ثم المعكوس (أو التبديل)
• E −1 = {(y, x): (x, y) }
• يكون عضوًا في E-العلاقة العكسية.

وفي السياق ذاته، الهيكل الإجمالي في المجموعة X عبارة عن المجموعة E المكونة من المجموعات الجزئية الخاصة بـX × X (لذا يقع ضمن التصنيف الأعم لـ العلاقات الثنائية في X) وتسمى مجموعات خاضعة للسيطرة، وعلى هذا تمتلك E علاقة الهوية، ويحدث الإغلاق ضمن المجموعات الجزئية والمعكوسات والاتحادات وهنا يحدث الإغلاق ضمن تكوين العلاقات. للإيضاح:

من جانب آخر، 5. الإغلاق ضمن التكوين إذا كانت E وF عضوان في E، فإن المنتج E o F = {(x, y): يوجد z في X مثل (x وz) في E, (z وy) في F} يكون عضوًا في E- تكوين العلاقات.

وفي السياق ذاته، 1. الهوية/قطري Δ قطري = {(x, x): x في X} عضو في E- علاقة الهوية.

تعد المجموعة X مع الهيكل الإجمالي E هي الفضاء الإجمالي.

وفي هذا الصدد، 4. الإغلاق ضمن الوحدات إذا كانت E وF أعضاءً في E، فإن اتحاد E وF يكون عضوًا في E.

وفي هذا الصدد، 2. الإغلاق ضمن المجموعات الجزئية إذا كانت E عضوًا في E وF مجموعة جزئية في E، إذًا F عضوًا في E.

من جهة ثانية، تعرف المجموعة E -1[K] على أنها {x في X : توجد y في K مثل (x وy) في E}. ولقد حددنا القسم E عن طريق x لتصبح المجموعة E[{x}]، وتدل كذلك على E x. يشير الرمز Ey إلى E −1[{y}]. وهذه أشكال الإسقاط.

البديهة

من جانب آخر، المجموعات الخاضعة للسيطرة هي مجموعات «صغيرة» أو «مجموعات ضئيلة»: يكاد التحكم في مجموعة A مثل A مضروبة في A لا يذكر، بينما الدالة f : X → X الرسم البياني الخاص بها خاضع للسيطرة و«قريب» من الهوية. في الهيكل الإجمالي المحدد، تمثل هذه المجموعات المجموعات الحدودية، والدوال هي تلك المجموعات على مسافة محدودة من الهوية في القياس المتري الموحد.

أمثلة

يتكون الهيكل الإجمالي الضئيل فقط من قطر ومجموعاته الجزئية.

في هذا الإطار، في هذا الهيكل، تعد الخريطة مكافئة بصورة تقريبية فقط إذا كانت تقابلية (للمجموعات).

كذلك، الفضاء X حيث تخضع X × X للسيطرة، يسمى الفضاء المحدود. ويتساوى هذا الفضاء إجمالاً مع نقطة. ويحدد الفضاء المتري مع الهيكل الإجمالي المحدود (كفضاء إجمالي) إذا حُدد فقط (كفضاء متري).

كذلك، مع هذا الهيكل، يتعادل النظام الشبكي الصحيح Z n إجماليًا مع الفضاء الإقليدي البعدي n.

وفي هذا السياق، الهيكل الإجمالي لـC0 في الفضاء المتريX عبارة عن مجموعة لجميع المجموعات الجزئية E الخاصة بـX × X مثل جميع ε > 0 توجد مجموعة متراصة K خاصة بـX مثل d(x وy) > ε لجميع (x وy) في E - K × K. بدلاً من ذلك، فإن مجموعة جميع المجموعات الجزئية E لـX × X مثل {(x وy) في E : d(x وy) ≥ ε} عبارة عن فضاء متراص.

كذلك، الهيكل الإجمالي المنفصل في مجموعة X يحتوي على القطر مع المجموعات الجزئية E الخاصة بـX × X التي تحتوي على عدد منته من النقاط (x وy) خارج القطر.

كذلك، الهيكل الإجمالي المحدد في الفضاء المتري (X وd) هو المجموعة E لجميع المجموعات الجزئية E الخاصة بـX × X مثل{d(x وy): (x وy) في E} وهي مجموعة منتهية.

في هذا الإطار، إذا كانت X عبارة عن فضاء طوبولوجي، فإن الهيكل الإجمالي المتصل في X يحتوي على جميع المجموعات الجزئية الصحيحة لـX × X، مما يعني أن جميع المجموعات الجزئية E مثل E [K] وE -1 [K] هي متراص نسبيًا حيثما كانت K فضاءً متراصًا نسبيًا.