في الرياضيات المسلية، الوَفْقُ أو المربع السحري هي مصفوفة مربعة

في البداية، في الرياضيات المسلية، الوَفْقُ أو المربع السحري هي مصفوفة مربعة ذات حيز ، مكونة من أعداد صحيحة، بحيث أن حاصل جمع رقم في كلّ من الصفوف والأعمدة والأقطار الرئيسية يأدي لنفس الحاصل. ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.

في هذا الإطار، توجد مربعات سحرية مهما كان الحيز ، بإقصاء (أربع أعداد)، مع كون الحالة تعتبر أمرا بديهيا. يبين الشكل التالي مثالا لمربع سحري من

}

وعلى صعيد آخر، for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)m1[j]=m2[i*n+j];m[i]=m1;m1=[];}

{

var i=0, j=(n-1)/2, p, k, m=[], m1=[], m2=[];
if(n==2) return 'Error: there is no magic square of 2x2 !';
if(n%4==0){//Double Even
for (i=0; i<n/2; i++){
for (j=0; j<n; j++){
m1[j]= i*n+j+1;
m2[n-j-1]= n*(n-i)-j;
}
else{
m1[j]= n*(n-i)-j;
m2[n-j-1]=i*n+j+1;
} }
m[i]=m1;
m[n-i-1]=m2;
m1=[];
m2=[];
}
}
else if(n%2==0){//Single Even
p = n/2;
m1 = magic(p);
for (i=0; i<2*p; i++)m[i]=[];
for (i=0; i<p; i++)for(j=0; j<p; j++){
m[i][j] = m1[i][j]*1;
m[i][j+p] = m1[i][j]*1+2*p*p;
m[i+p][j] = m1[i][j]*1+3*p*p;
m[i+p][j+p] = m1[i][j]*1+p*p;
}
for(i=0; i<p; i++){
k = (n-2)/4;
for(j=0; j<k; j++){
k2=m[i][j];
m[i][j]=m[i+p][j];
m[i+p][j]=k2;
}
}
for(i=0; i<p; i++){
for(j=n-k+1; j<n; j++){
k2=m[i][j];
m[i][j]=m[i+p][j];
m[i+p][j]=k2;
}
}
k2=m[k][0]; m[k][0]=m[k+p][0]; m[k+p][0]=k2;
k2=m[k][k]; m[k][k]=m[k+p][k]; m[k+p][k]=k2;
}

برمجة المربعات السحرية

كذلك، حساب المربعات السحرية يصبح سهلا بعد معرفة خوارزمياتها ومن الممكن برمجتها بأي لغة برمجة. مثلا باستعمال متصفح الويب ولغة جافا سكربت يمكن إنشاء دالة المربع السحري لأي عدد طبيعي كما يلي

function magic(n)

ملف:Magicsquareexample.svg

إضافةً إلى ذلك، لاحظ أن مجموع كل سطر وعمود وقطر رئيسي يساوي دائما 15. يسمى هذا المجموع ثابتا سحريا وقيمته بصفة عامة:

(البقية).

قيم الثوابت السحرية لمربعات سحرية عادية ذات حيز هي متتالية:

بناء المربعات السحرية

مربع سحري ذو رتبة فردية n.
مربع سحري ذو رتبة زوجية مفردة n (أي ان = n/2 عدد فردي).
مربع سحري ذو رتبة زوجية مضاعفة n (أي ان = n/2 عدد زوجي).

وعلى صعيد آخر، هناك الكثير من الطرق القديمة والحديثة لبناء مربعات سحرية. يمكن تصنيف المربع السحري إلى ثلاثة أنواع رئيسية:

else{// Odd

for (k=1; k<=n*n; k++)
{
m2[i*n +j] = k;
i--;
j++;
if (k%n == 0){
i += 2;
j--;
}
if (j==n)j = 0;
if (i==-1) i = n-1;

طرق إنشاء مربعات سحرية فردية الرتبة

تتم العملية بالشكل الاتي:

في هذا الإطار، 4- يتم نقل العناصر الجديدة إلى مصفوفة جديدة مع تدويرها 45 درجة بحيث تصبح الصفوف والأعمدة الأصلية أقطارا والأقطار الأصلية صفوفا.

من جهة ثانية، 3- قراءة الخلايا الموازية تحت القطر الرئيسي مع إزاحتها خلية واحدة (من الصف والعمود) في كل مرة عن سابقتها نحو اليمين والأسفل. يتم التوقف بعد n-1)/2) خط موازيا للقطر الرئيسي.

إضافةً إلى ذلك، 3- قراءة الخلايا الموازية فوق القطر الرئيسي مع إزاحتها خلية واحدة (من الصف والعمود) في كل مرة عن سابقتها نحو اليسار والأعلى. يتم التوقف بعد n-1)/2) خطا موازيا للقطر الرئيسي.

كذلك، 2- قراءة أحد القطرين وليكن القطر الرئيسي ووضعه كعمود وسط المصفوفة الجديدة.

علاوةً على ذلك، تمتاز المربعات السحرية التي يقبل ثابتها السحري القسمة على 4 بدون باقي بإمكانية تطبيق قاعدة التبديل بين المرافقات بعد كل خليتين.

من جانب آخر، 1- تعبئة المربع بالأرقام 1 حتى n2. سيتم تكرار المربع السحري من جميع جوانبه لتسهيل معرفة الأرقام المكملة خارجه عند الإزاحة.

طرق إنشاء مربعات سحرية زوجية الرتبة (مضاعفة)

علاوةً على ذلك، تتميز المربعات السحرية فردية الرتبة في إمكانية تدوير المربع حتى تصبح الصفوف والأعمدة أقطارا بينما الأقطار صفوفا وأعمدة. يكون مركز المربع السحري دائما

}

Magic square of

Java script must be enabled..

تطبيقات

وفي السياق ذاته، لو كان لدينا 81 قطعة ذهبية بحيث أن كتلة كل قطعة تساوي ترتيبها. أي أن كتلة الأولى 1 غرام والثانية 2 غرام وهكذا وتطلب الأمر توزيعها بشكل عادل بين 9 أفراد.

من جهة ثانية، للمربع السحري بعض التطبيقات المسلية والعلمية أحيانا. يمكن بواسطته مثلا تحليل المساحات بشكل منتظم. مثال ذلك المسألة التالية:

علاوةً على ذلك، نلاحظ أن إعادة توزيع هذه القطع في مربع سحري 9×9 يعطي الحل الأمثل بحيث يصبح نصيب كل فرد أحد صفوف المربع. يمكن كذلك توزيعها بطريقة الأعمدة بحيث يكون نصيب كل فرد أحد أعمدة المربع السحري.

مشاكل رياضية ذات صلة

الخوارزمية

استخدام عملية الطرح في مكعب من الاعداد من 1 إلى 9

m[0][0]=' '+m[0][0];

return m;

for (k=0; k<n; k ++) m[k][n-1] += '\n';

يمكن تلخيص العملية كما يلي

ومن جهة أخرى، 3- يتم تكرار الإبدال لكل خليتين متتاليتين (مع ما يقابهما أي التبديل بين كل a(n-i+1)(n-j+1) وaji) وترك خليتين أخريين ابتداء من الخلية الثالثة في الصف الأول وحتى الوصول إلى مركز المربع مع عدم المساس بالأركان التي تم تغييرها في الخطوة السابقة.

من جهة ثانية، 2- التبديل بين جميع أركان المربع. مثلا في المربع 4×4 تكون أركانه هي 1، 4، 13، 16. عند التبديل بين الركن الأول والرابع أي 1، 16 والركن الثاني والثالث أي 4، 13.

وعلى صعيد آخر، 4- نقل نسخة من هذا المربع في المربعات الثلاثة الباقية مع إضافة n2/4 لكل عنصر في المربع الثاني، n2/2 لكل عنصر في المربع الثالث، و3n2/4 لكل عنصر في المربع الرابع.

ومن جهة أخرى، تعتبر عملية إنشاء المربعات السحرية التي لا تقبل القسمة على 4 بدون باقي صعبة نسبيا، كما أنها لا تتميز بالتماثل التام. أبسط الطرق تتمثل في إعادة تقسيم المربع إلى 4 مربعات صغيرة متكافئة كما يلي:

علاوةً على ذلك، 3- تحويل المربع في الخطوة 2 إلى مربع سحري بالطريقة المستعملة في المربعات السحرية الفردية.

ومن جهة أخرى، 5- أصبح المربع السحري جاهزا على وجه التقريب ولكن ينقصه شرط تحقق مجموع عناصر كل قطر. في هذه الحالة يتم التبديل بين بعض عناصر مربعين متجاورين حتى يكتمل الشرط.

علاوةً على ذلك، 1- تقسيم المربع إلى 4 مربعات صغيرة متكافئة. لاحظ أن المربعات الناشئة عبارة عن مربعات فردية.

2- تعبئة المربع الأول بالأرقام 1 حتى n2/4.

1- تعبئة المربع بالأرقام 1 حتى n2.

طرق إنشاء مربعات سحرية زوجية الرتبة (مفردة)

وفق

}

{