جذور المعادلة

حل المعادلة التكعيبية يعنى ايجاد الجذر التكعيبي للدالة التكعيبية وهو ليس بالأمر السهل كما في معادلة الدرجة الثانية. يمكن إثبات القانون العام لجذور معادلة الدرجة الثالثة إما باستخدام صيغة غاردان أو الإثبات العكسي (بضرب الجذور الثلاثة في بعضها)

القانون العام للجذور

تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، ا سظ£ + ب سظ¢+ حـ س + د ظ  ، a x^3 + b x^2 + c x + d 0, بدلالة معاملاتها a,b,c,d, كما يلي

egin

x_1 &-frac b 3 a \r &-frac 1 3 a sqrt[3] frac 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+sqrt (2 b^3-9 a b c+27 a^2 d ight)^2-4 (b^2-3 a c ight)^3 2 \r &-frac 1 3 a sqrt[3] frac 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-sqrt (2 b^3-9 a b c+27 a^2 d ight)^2-4 (b^2-3 a c ight)^3 2 \r x_2 &-frac b 3 a \r &+frac 1+i sqrt 3 6 a sqrt[3] frac 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+sqrt (2 b^3-9 a b c+27 a^2 d ight)^2-4 (b^2-3 a c ight)^3 2 \r &+frac 1-i sqrt 3 6 a sqrt[3] frac 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-sqrt (2 b^3-9 a b c+27 a^2 d ight)^2-4 (b^2-3 a c ight)^3 2 \r x_3 &-frac b 3 a \r &+frac 1-i sqrt 3 6 a sqrt[3] frac 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+sqrt (2 b^3-9 a b c+27 a^2 d ight)^2-4 (b^2-3 a c ight)^3 2 \r &+frac 1+i sqrt 3 6 a sqrt[3] frac 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-sqrt (2 b^3-9 a b c+27 a^2 d ight)^2-4 (b^2-3 a c ight)^3 2 end

صيغة كاردان

كان كاردان عالما رياضيا, فيزيائيا وفلكيا وقد استطاع أن ينشر هذه الصيغة في كتابه عام 1545م. كانت الطريقة تقتضي الاتي

أولا تبسيط المعادلة القياسية لتصبح على الشكل

x^3 + ax^2 + bx +c 0 qquad (1).

ثم التخلص من معامل الدرجة الثانية باستخدام التعويض المناسب x t - a/3, لتصبح المعادلة بالشكل الجديد

t^3 + pt + q 0, qquad (2)

حيث

p b - frac a^2 3 qquad mbox and qquad q c + frac 2a^3-9ab 27 .

وبتعويض مناسب u+v t, في المعادلة (2) يمكن الحصول على

u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q 0 qquad (3),.

• وهنا افترض غاردان حدا جديدا للمتغيرات < >u و< >v بحيث 3uv+p 0,
• عند دمج هذه في (3) بتعويض < >v نحصل على

u^6 + qu^3 - p^3over 27 0,.

يمكن ملاحظة أن هذه معادلة من الدرجة السادسة التي يمكن أن تبسط إلى الدرجة الثانية في < >u3 وتحل مباشرة لتصبح

u^ 3 - qover 2 pm sqrt q^ 2 over 4 + p^ 3 over 27

وبالتالي

u sqrt[3] - qover 2 pm sqrt q^ 2 over 4 + p^ 3 over 27 qquad (4)

ولما كانت < >t < >v + < >u, < >t < >x + < >a/3, و< >v −< >p/3< >u, نجد أن

x -frac p 3u +u- aover 3 .

لاحظ أنه يوجد 6 احتمالات لحساب < >u في(4), وذلك لأن الجذر التربيعي يحمل احتمالين (pm,) والجذور ثلاثة. ولكن الجذر التربيعي ليس له تأثير على القيمة الناتجة < >t (ومع ذلك يجب الانتباه للحالات الثلاث لتجنب القسمة على صفر)

أولا, إذا كانت < >p    < >q    0, فإنه لدينا ثلاثة جذور حقيقية

t 0.,

ثانيا, إذا كانت < >p    0 و< >q  ≠  0, فإن

u 0 ext and v -sqrt[3] q .

ثالثا أذا كانت < >p  ≠  0 و< >q    0 فإن

u sqrt pover 3 qquad mbox and qquad v -sqrt pover 3 ,

وفي أي من الحالات تكون الجذور الثلاثة هي

t u+v 0 , qquad t omega_1u- pover 3omega_1u sqrt -p , qquad t uover omega_1 - omega_1pover 3u -sqrt -p ,

حيث

omega_1 e^ ifrac 2pi 3 - frac 1 2 + i frac sqrt 3 2 .

الخلاصة

من أجل حل المعادلة التكعيبية

x^3 + ax^2 + bx + c 0

تعطى جذور < >x بالشكل

x u - p over 3u - a over 3

حيث

p b - a^2 over 3

q c + 2a^3 - 9ab over 27

u sqrt[3] - q over 2 pm sqrt q^2 over 4 + p^3 over 27

انظر إيضا

معادلة حدودية

Polynomialdeg3.png تصغير يسار 200بك مخطط الدالة التكعيبية، جذور الدالة هي عند تقاطع المخطط مع محور السينات x. في الرياضيات ، الدالة التكعيبية إنك Cubic function هي دالة رياضية لها الشكل التالي

f(x) ax^3+bx^2+cx+d,

حيث < >a لا يساوي الصفر. أو هي متعددة الحدود متعددة حدود من الدرجة الثالثة. مشتق الدالة التكعيبية هي دالة تربيعية ، وتكامل الدالة التكعيبية هي دالة رباعية دالة من الدرجة الرابعة . إذا كان f(x) 0, يصبح لدينا معادلة تكعيبية أو معادلة من الدرجة الثالثة

ax^3+bx^2+cx+d 0,

حيث a e 0, . إذا كانت < >a 0, فتصبح معادلة تربيعية. أما إذا كان < >a و b< > مساويين للصفر, فإن المعادلة تصير خطية. عادة، تكونa,b,c,d, أعدادا صحيحة.

تعرف على - اتصل بى - قريب - عربى - نرمى - مصبغة - حراج - الدليل الصحى العربى - دليل الأطباء الكويتي - دليل الأطباء السعودي - دليل الأطباء الإماراتي - دليل الأطباء العماني - دليل الأطباء البحريني - دليل الأطباء القطري - دليل الأطباء الأردني - دليل الأطباء اللبناني - دليل الأطباء السوري - دليل الأطباء المصري - دليل الأطباء المنوع - سعودى -