تم النشر اليوم 06-12-2025 | تكامل سطحي التكامل السطحي للمجالات القياسية

التكامل السطحي للمجالات القياسية

لنعتبر السطح < >S والذي عليه يعرف عليه مجال قياسي < >f. لو تخيلنا السطح < >S قد صنع من مادة ما, ولكل نقطة x فيه تكون قيمة < >f(x) هي كثافة المادة عند x, وعليه يكون التكامل السطحي لـ< >f على السطح < >S هو كتلة المادة لكل وحدة سماكة من < >S,بالطبع شريطة أن يكون السمك متناهي في النحافة. تكمن احدى الطرق في حساب التكامل السطحي بأن يتم تقسيم السطح إلى قطع صغيرة جدا بحيث يمكن فرض كل قطعة صغيرة ثابتة الكثافة ومن ثم تحسب الكتلة لوحدة السماكة في كل قطعة بضرب الكثافة بمساحة القطعة, وأخيرا تجمع القيم للحصول على الكتلة الكلية. لإيجاد صيغة واضحة للتكامل السطحي ينبغي التفكير في نظام إحداثيات مناسب تماما مثل نظام احداثيات الطول والعرض على كرة الكرة . ليكن نظام الاحداثيات المختار هو x(< >s, < >t), حيث (< >s, < >t) متغيرة في منطقة ما < >T في الاحداثيات الكارتيزية . حينئذ يعطى التكامل السطحي بالعلاقة

int_S f ,dS iint_T f(mathbf x (s, t)) partial mathbf x over partial s imes partial mathbf x over partial t ight ds, dt حيث ان التعبير بين العمودين على اليمين هو قيمة (رياضيات) قيمة الضرب المتجهي للمشتقات الجزئية من x(< >s, < >t). ولو رغبنا بحساب المساحة السطحية لجسم ذي دالة مثلا z f,(x,y), فلدينا

A int_S ,dS iint_T partial mathbf r over partial x imes partial mathbf r over partial y ight dx, dy حيث mathbf r (x, y, z) (x, y, f(x,y)). وعليه, partial mathbf r over partial x (1, 0, f_x(x,y)), و partial mathbf r over partial y (0, 1, f_y(x,y)). أي,

egin

A & iint_T (1, 0, partial f over partial x ight) imes (0, 1, partial f over partial y ight) ight dx, dy \r & iint_T (- partial f over partial x , - partial f over partial y , 1 ight) ight dx, dy \r & iint_T sqrt ( partial f over partial x ight)^2+ ( partial f over partial y ight)^2+1 , , dx, dy end وهي الصيغة الشهيرة التي نستخدمها لإيجاد المساحة السطحية لجسم له دالة. لاحظ أن الصيغ السابقة يعمل بها في الاسطح ثلاثية الأبعاد فقط بسبب وجود الضرب المتجهي.

التكامل السطحي للمجالات المتجهة

Surface vectors.png 300 مجال متجه لسطح. ليكن المجال المتجة v على < >S, بمعنى أنه لكل x في < >S, يكون (v(x متجه. تصور أن لدينا مائع يمر خلال < >S, بحيث يكون v(x) تعطينا سرعة المائع عند x. يعرف فيض الفيض على أنه كمية المائع المار في < >S بكمية وحدة زمنية. يقتضي التوضيح أنه إذا كان المجال المتجه مماس ا لـ< >S عند كل نقطة, يصبح الفيض صفرا, لأن المائع يسري بشكل موازي لـ < >S, وليس داخلا ولا خارجا. وكذلك يقتضي أنه لوكان v يسري بشكل مائل (مماسي و عمودي ) فإن المركبة العمودية فقط هي التي تشارك في الفيض. ولإيجاد الفيض بناء على هذاالسبب, يجب أن نأخذ الضرب القياسي لـv مع وحدة العمودي على السطح لـ< >S عند كل نقطة, والتي ستعطينا مجال قياسي, ونكامل المجال المحصل كما في الأعلى. نجد الصيغة

int_S mathbf v cdot ,d mathbf S int_S ( mathbf v cdot mathbf n ),dS iint_T mathbf v (mathbf x (s, t))cdot ( partial mathbf x over partial s imes partial mathbf x over partial t ight) ds, dt.

الضرب المتجهي على الطرف الايمن من التعبير هو العمودي على السطح بعد نقل الاحداثيات. تعرف هذه الصيغة بأنها تكامل مجال المتجه v على < >S. تفاضل تكامل التكامل السطحي في علم رياضيات الرياضيات هو تكامل محدود مأخوذ على سطح جسم، يمكن النظر اليه ك تكامل ثنائي تماثلي للتكامل الخطي . للتكامل الخطي تطبيقات عدة خاصة في مجال كهرومغناطيسية الكهرومغناطيسيات . Surface integral illustration.svg تعريف التكامل السطحي يعتمد على تقسيم السطح لأجزاء متناهية في الصغر. Surface integral1.svg مثال توضيحي لعنصر سطحي مفرد. تكون العناصر متناهير في الصغر بحيث يمكن تقريبه كسطح.